《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

1. 公式法因式分解的概念
公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法称为公式法。

答案： 1.因式分解

2. 利用平方差公式分解因式
公式：$a^{2}-b^{2}=$(a+b)(a-b)。
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
注意：利用公式法因式分解的关键是掌握公式的特征。
公式特征：(1)对于二项式的因式分解，可考虑平方差公式；
(2)构成二项式的两项必须异号；
(3)异号的两项在不考虑符号时，均可以写成一个数或式子的平方的形式；
(4)右边是两数和与两数差的积的形式，要注意符号，原来是被减数的，分解后仍是被减数，如$-a^{2}+b^{2}=(b+a)(b - a)$，而不能写成$-a^{2}+b^{2}=(a + b)(a - b)$。

答案： 2.(a+b)(a-b) 和 差 平方 和 差

例 1 把下列多项式分解因式：
(1)$25x^{2}y^{2}-1=$(5xy+1)(5xy-1)；
(2)$-\frac{16}{9}a^{2}+\frac{81}{4}b^{2}=$$(\frac{9}{2}b+\frac{4}{3}a)(\frac{9}{2}b-\frac{4}{3}a)$；
(3)$9(m + n)^{2}-(m - n)^{2}=$4(2m+n)·(m+2n)；
(4)$4x^{3}-16x=$4x(x+2)(x-2)。

答案： 【例1】
(1)(5xy+1)(5xy-1)
$(2)(\frac{9}{2}b+\frac{4}{3}a)(\frac{9}{2}b-\frac{4}{3}a)$
(3)4(2m+n)·(m+2n)
(4)4x(x+2)(x-2)

例 2 若$m^{2}-n^{2}=6$，且$m - n = 3$，则$m + n =$2。

答案： 【例2】2

例 3 利用因式分解计算：
(1)$49^{2}-48^{2}$；
(2)$(39\frac{1}{2})^{2}-(10\frac{1}{2})^{2}$。

答案： 【例3】
(1)97
(2)1450

例 4 如图是一块边长为$a$cm 的正方形纸板，在正中央剪去一个边长为$b$cm 的正方形，当$a = 6.25$，$b = 3.75$时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积。

答案： 【例4】阴影部分的面积为$25cm^2.$

1. 下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解因式的是（C）
A.$-x^{2}+y^{2}$
B.$4a^{2}-(a + b)^{2}$
C.$a^{2}-8b^{2}$
D.$x^{2}y^{2}-1$

答案： 1.C

2. 分解因式：$1 - 4y^{2}=$（A）
A.$(1 - 2y)(1 + 2y)$
B.$(2 - y)(2 + y)$
C.$(1 - 2y)(2 + y)$
D.$(2 - y)(1 + 2y)$

答案： 2.A

3. 分解因式：
(1)[2023·宁波]$x^{2}-y^{2}=$(x+y)(x-y)；
(2)[2023·丽水]$x^{2}-9=$(x+3)(x-3)；
(3)$4a^{2}-9=$(2a+3)(2a-3)。

答案： 3.
(1)(x+y)(x-y)
(2)(x+3)·(x-3)
(3)(2a+3)(2a-3)

4. [2023·嘉兴、舟山]一个多项式，把它因式分解后其中一个因式为$(x + 1)$，请你写出一个符合条件的多项式：$x^2-1$。

答案： $4.x^2-1($答案不唯一)