《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

1. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释。八年级课外活动小组剪了若干个边长为$a$的小正方形($A$类)，长为$b$、宽为$a$的长方形($B$类)以及边长为$b$的大正方形($C$类)卡片，发现利用这三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式。
乐学组的同学：我们拼出了如图1的长方形，发现这个图形可以解释等式：$(a + 2b)(a + b) = a^{2} + 3ab + 2b^{2}$。
(1) 勤奋组的同学拼出了如图2的长方形，这个图形可以解释的等式为____________________________。
(2) 启航组同学要拼成一个长为$(a + 3b)$、宽为$(2a + b)$的长方形，那么需用$A$类卡片________张、$B$类卡片________张、$C$类卡片________张。
(3) 卓越组的同学想用$1$张$A$卡片、$5$张$B$卡片、$4$张$C$卡片拼成一个长方形，验证某个等式，请你帮他们画出图形并写出可以解释的等式。
(4) 善思组的同学用$5$张$B$类卡片按图3的方式不重叠地放在长方形内，两个大长方形用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为$M$，$AB = x$，若$M$的值与$x$无关，试探究$a$与$b$的数量关系，并说明理由。

答案：
$1. (1)(2a + b)(2b + a) = 2a^{2} + 5ab + 2b^{2}$　　
$(2) 2;7;3$　　
$(3)$等式为$(a + b)(a + 4b) = a^{2} + 5ab + 4b^{2}.$　　$.$　　
$(4)b = 2a,$理由如下$:.$　　
由题意可得$:M=(x-3a)b-2a(x-b)=xb-3ab-2ax+2ab=(b-2a)x-ab$　　
∵$M$的值与$x$无关　　
∴$b-2a=0$　　
∴$b=2a$　　

二、校园实践基地土地分割方案
2. 根据以下素材，探索完成任务。

答案： 任务一：
① $a^{2}+2b^{2}+3ab$；
② $(a+2b)(a + b)$（或$a^{2}+3ab + 2b^{2}$）。
任务二：
$(a + 2b)(a + 3b) = a^{2} + 5ab + 6b^{2}$.
任务三：
由$a^{2}+6b^{2}+5ab = 35$，$a$、$b$为正整数，通过试值法：
当$b = 1$时，$a^{2}+5a+6 = 35$，即$a^{2}+5a - 29 = 0$，$\Delta=25 + 116 = 141$，$a$不是整数。
当$b = 2$时，$a^{2}+10a + 24 = 35$，即$a^{2}+10a - 11 = 0$，$(a + 11)(a - 1)=0$，解得$a = 1$或$a=-11$（舍去）。
所以$a = 1$，$b = 2$（$a = 19$（由$a+11 = 19+11 - 35$（通过其他试值不合理舍去）等不合理值舍去） ）。
综上，$a = 1$，$b = 2$。