《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

16. (10 分)[2023·丽水]如图，分别以 $a$、$b$、$m$、$n$ 为边长作正方形，已知 $m ＞ n$ 且满足 $am - bn = 2$，$an + bm = 4$。
(1) 若 $a = 3$，$b = 4$，求图 1 阴影部分的面积；
(2) 若图 1 中阴影部分的面积为 3，图 2 中四边形 $ABCD$ 的面积为 5，求图 2 中阴影部分的面积。

答案： $16. (1)25 (2)\frac{5}{3}$

17. (10 分)[2024 春·碑林区期末]阅读材料后解决问题。小明遇到下面一个问题：
计算 $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)$。
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$= (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$= (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$= (2^4 - 1)(2^4 + 1)$
$= 2^8 - 1$。
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$；
(2) $(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)$。

答案： $17. (1)2^{32}-1 (2)\frac{3^{32}-1}{2}$