《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B=60^{\circ}$，$\angle BAC$、$\angle ACB$的平分线AD、CE交于点O. 求证：$AE+CD=AC$.

答案： 在AC上截取AF=AE，连接OF。
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO=∠FAO。
在△AEO和△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AF \\ ∠EAO=∠FAO \\ AO=AO \end{array}\right.$
∴△AEO≌△AFO(SAS)，
∴∠AOE=∠AOF，OE=OF。
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=120°。
∵AD、CE为角平分线，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=60°，
∴∠AOC=180°-60°=120°。
∵∠AOC=∠AOF+∠FOC=120°，且∠AOE=∠AOF，∠AOE=∠DOC（对顶角），
∴∠AOE=∠AOF=∠DOC=60°，
∴∠FOC=∠AOC-∠AOF=60°=∠DOC。
∵CE平分∠ACB，
∴∠FCO=∠DCO。
在△FCO和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠FOC=∠DOC \\ OC=OC \\ ∠FCO=∠DCO \end{array}\right.$
∴△FCO≌△DCO(ASA)，
∴FC=CD。
∵AC=AF+FC，AF=AE，
∴AC=AE+CD。
结论：AE+CD=AC。

7. 如图，$CD=AB$，$\angle BAD=\angle BDA$，AE是$\triangle ABD$的中线. 求证：$AC=2AE$.

答案： 证明：
1.
∵∠BAD=∠BDA，
∴AB=BD（等角对等边）。
2.
∵CD=AB，
∴CD=BD（等量代换）。
3.
∵AE是△ABD的中线，
∴E为BD中点，即BE=ED（中线定义）。
4. 延长AE至F，使EF=AE，连接DF。
5. 在△ABE和△FDE中，
∵BE=DE，∠AEB=∠FED，AE=FE，
∴△ABE≌△FDE（SAS）。
6.
∴AB=FD，∠ABD=∠FDB（全等三角形对应边、对应角相等）。
7.
∵AB=BD，
∴FD=BD（等量代换），又BD=CD，
∴FD=CD（等量代换）。
8.
∵∠ADB=∠BAD，∠ADC=∠BAD+∠ABD（三角形外角性质），∠ADF=∠ADB+∠FDB，且∠ABD=∠FDB，
∴∠ADF=∠ADC。
9. 在△ADF和△ADC中，
∵AD=AD，∠ADF=∠ADC，FD=CD，
∴△ADF≌△ADC（SAS）。
10.
∴AF=AC（全等三角形对应边相等），又AF=AE+EF=2AE，
∴AC=2AE。
结论：AC=2AE。

8. 如图，$\triangle ABC$的外角$\angle DAC$的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P，$PD\perp AB$于点D，$PE\perp AC$于点E.
（1）求证：$BD=CE$；
（2）若$AB=6cm$，$AC=10cm$，求AD的长.

答案： 1. （1）证明：
连接$PB$，$PC$。
因为$PQ$是$BC$边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$PB = PC$。
又因为$AP$平分$\angle DAC$，$PD\perp AB$，$PE\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PD = PE$。
在$Rt\triangle PBD$和$Rt\triangle PCE$中，$\left\{\begin{array}{l}PB = PC\\PD = PE\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等，所以$Rt\triangle PBD\cong Rt\triangle PCE$。
再根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$BD = CE$。
2. （2）解：
因为$AP$平分$\angle DAC$，$PD\perp AB$，$PE\perp AC$，所以$\angle PAD=\angle PAE$，$\angle PDA = \angle PEA=90^{\circ}$，又$AP = AP$。
根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理：若两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，则这两个三角形全等，所以$\triangle APD\cong\triangle APE$。
则$AD = AE$。
已知$AB = 6cm$，$AC = 10cm$，且$BD = CE$，$BD=AB + AD$，$CE=AC - AE$。
因为$AD = AE$，所以$AB + AD=AC - AD$。
移项可得$AD+AD=AC - AB$，即$2AD=AC - AB$。
把$AB = 6cm$，$AC = 10cm$代入$2AD=AC - AB$中，得$2AD=10 - 6$。
即$2AD = 4$，解得$AD = 2cm$。
综上，（1）已证$BD = CE$；（2）$AD$的长为$2cm$。

9. [2024·哈尔滨]如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，分别以点A和点B为圆心、大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交BC于点D，连结AD，若$\angle B=50^{\circ}$，则$\angle DAC=$（C）

A.$20^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： 9. C

10. [2024秋·游仙区期中]如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=80^{\circ}$，DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，点E、F在BC上，则$\angle FAE$的度数为20°.

答案： 10. 20°