《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

3. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D分别为垂足，CF=CB. 求证：BE=FD.

答案： 证明：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD=CE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CE⊥AB，CD⊥AD，
∴∠CDF=∠CEB=90°。
在Rt△CDF和Rt△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l} CF=CB\\ CD=CE\end{array}\right.$
∴Rt△CDF≌Rt△CEB（HL）。
∴BE=FD。

4. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是点M、N. 求证：PM=PN.

答案： 证明：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
AB=BC，
∠ABD=∠CBD，
BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS）。
∴∠ADB=∠CDB。
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

5. [2024·绵阳]如图，在△ABC中，AB=5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，△ABD的面积为5，则DE的长为（B）

A.1
B.2
C.3
D.5

答案： 5.B

6. [2024·湖南]如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA、BC上分别截取线段BE、BF，使BE=BF；分别以点E、F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N. 若MN=2，AD=4MD，则AM=6.

答案： 6.6

7. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高. 求证：AD垂直平分EF.

答案： 证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）。
∵DE、DF分别是△ABD、△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC（高的定义），
∴∠AED=∠AFD=90°。
在△AED和△AFD中，
∠EAD=∠FAD（已证），
∠AED=∠AFD（已证），
AD=AD（公共边），
∴△AED≌△AFD（AAS）。
∴AE=AF，DE=DF（全等三角形对应边相等）。
∵AE=AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）。
∵DE=DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴直线AD是线段EF的垂直平分线。
即AD垂直平分EF。

8. （推理能力）(1)如图1，求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；
(2)如图2，若∠ABC的平分线与△ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连结AP，若∠BAC=62°，则∠PAC的度数为59°.

(1)证明：
已知$\triangle ABC$，$AD$，$BE$分别是$\angle BAC$，$\angle ABC$的角平分线，$AD$与$BE$相交于点$O$。
过点$O$作$OF\perp AB$于点$F$，$OG\perp BC$于点$G$，$OH\perp AC$于点$H$。
因为$AD$是$\angle BAC$的角平分线，$OF\perp AB$，$OH\perp AC$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$OF = OH$。
因为$BE$是$\angle ABC$的角平分线，$OF\perp AB$，$OG\perp BC$，所以$OF = OG$。
那么$OH = OG$。
又因为$OG\perp BC$，$OH\perp AC$，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点$O$在$\angle ACB$的角平分线上。
所以三角形的三条角平分线相交于一点$O$，并且$OF = OG = OH$，即这一点到三边的距离相等。

答案： 1. （1）证明：
已知$\triangle ABC$，$AD$，$BE$分别是$\angle BAC$，$\angle ABC$的角平分线，$AD$与$BE$相交于点$O$。
过点$O$作$OF\perp AB$于点$F$，$OG\perp BC$于点$G$，$OH\perp AC$于点$H$。
因为$AD$是$\angle BAC$的角平分线，$OF\perp AB$，$OH\perp AC$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$OF = OH$。
因为$BE$是$\angle ABC$的角平分线，$OF\perp AB$，$OG\perp BC$，所以$OF = OG$。
那么$OH = OG$。
又因为$OG\perp BC$，$OH\perp AC$，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点$O$在$\angle ACB$的角平分线上。
所以三角形的三条角平分线相交于一点$O$，并且$OF = OG = OH$，即这一点到三边的距离相等。
2. （2）
过点$P$作$PE\perp AB$于点$E$，$PF\perp AC$于点$F$，$PG\perp BD$于点$G$。
因为$BP$平分$\angle ABC$，$PE\perp AB$，$PG\perp BD$，所以$PE = PG$。
因为$CP$平分$\angle ACD$，$PF\perp AC$，$PG\perp BD$，所以$PF = PG$，则$PE = PF$。
又因为$PE\perp AB$，$PF\perp AC$，根据角平分线的判定定理，所以$AP$平分$\angle CAE$。
因为$\angle BAC = 62^{\circ}$，$\angle CAE=180^{\circ}-\angle BAC = 118^{\circ}$。
所以$\angle PAC=\frac{1}{2}\angle CAE$（角平分线的定义），即$\angle PAC = 59^{\circ}$。
故答案为：$59^{\circ}$。