《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

如图，$∠A=∠B$，$CE// DA$.求证：$CE=CB$.需再增加什么条件，可使$\triangle BCE$成为等边三角形？

答案： 1. 首先证明$CE = CB$：
因为$CE// DA$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle A=\angle CEB$。
已知$\angle A = \angle B$，则$\angle CEB=\angle B$。
根据等角对等边，可得$CE = CB$。
2. 然后求使$\triangle BCE$成为等边三角形的条件：
因为$CE = CB$，根据等边三角形的判定定理：有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形。
所以当$\angle B = 60^{\circ}$（或$\angle A=60^{\circ}$或$\angle BCE = 60^{\circ}$）时，$\triangle BCE$是等边三角形。
综上，证明$CE = CB$过程如上述；使$\triangle BCE$成为等边三角形的条件是$\angle B = 60^{\circ}$（或$\angle A = 60^{\circ}$或$\angle BCE = 60^{\circ}$）。

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$∠BAC$，交$BC$于点$D$，且$∠ABC=2∠C$.求证：$AB+BD=AC$.

答案： 在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD。
在△ABD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AE\\ ∠BAD=∠EAD\\ AD=AD\end{array}\right.$
∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD=ED，∠ABD=∠AED。
∵∠ABC=2∠C，
∴∠AED=2∠C。
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC。
∴2∠C=∠C+∠EDC，
∴∠EDC=∠C。
∴ED=EC（等角对等边）。
∵BD=ED，
∴BD=EC。
∵AC=AE+EC，AE=AB，
∴AC=AB+BD。
即AB+BD=AC。

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠ABC=3∠C$，$AD$平分$∠BAC$，$BE⊥AD$，垂足为点$E$.求证：$BE=\frac {1}{2}(AC-AB)$.

答案： 延长BE交AC于点F。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE。
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEF=90°。
在△ABE和△AFE中，
∠BAE=∠FAE，AE=AE，∠AEB=∠AEF，
∴△ABE≌△AFE（ASA）。
∴AB=AF，BE=EF=1/2 BF，∠ABE=∠AFE。
设∠C=x，则∠ABC=3x。设∠FBC=∠C=x（需证），则∠ABE=∠ABC - ∠FBC=3x - x=2x。
∵△ABE≌△AFE，
∴∠AFE=∠ABE=2x。
∵∠AFE是△BFC的外角，
∴∠AFE=∠FBC + ∠C=x + x=2x，符合。
∴∠FBC=∠C，
∴BF=FC。
∵FC=AC - AF=AC - AB，
∴BF=AC - AB。
∵BE=1/2 BF，
∴BE=1/2 (AC - AB)。
证毕。

3. 如图，$\triangle ABC$是等腰三角形，点$D$、$E$分别是腰$AB$及$AC$延长线上的一点，且$BD=CE$，连结$DE$交底$BC$于点$G$.求证：$GD=GE$.

答案： 证明：过点D作DF//AC，交BC于点F。
∵DF//AC，
∴∠DFB=∠ACB（两直线平行，同位角相等），∠FDG=∠E（两直线平行，内错角相等）。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC（腰AB，故AC为另一腰），
∴∠B=∠ACB（等边对等角），
∴∠DFB=∠B（等量代换），
∴DF=BD（等角对等边）。
∵BD=CE（已知），
∴DF=CE（等量代换）。
在△DFG和△ECG中，
∠FDG=∠E，
∠DGF=∠EGC（对顶角相等），
DF=CE，
∴△DFG≌△ECG（AAS），
∴GD=GE（全等三角形对应边相等）。