《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

7. 如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 F 是 BC 延长线上一点，连结 DF，交 AC 于点 E，连结 BE，∠A = ∠ABE.
(1)求证：DF 是线段 AB 的垂直平分线；
(2)当 AB = AC，∠A = 46°时，求∠EBC 及∠F 的度数.

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle A=\angle ABE$，根据等角对等边，所以$EA = EB$。
又因为点$D$是$AB$的中点，即$AD = BD$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BDE$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = BD\\EA = EB\\DE = DE\end{array}\right.$（公共边）。
根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，$\triangle ADE\cong\triangle BDE$。
所以$\angle ADE=\angle BDE$，又因为$\angle ADE+\angle BDE = 180^{\circ}$，所以$\angle ADE=\angle BDE = 90^{\circ}$。
即$DE\perp AB$，又$AD = BD$，所以$DF$是线段$AB$的垂直平分线。
2. （2）
因为$AB = AC$，$\angle A = 46^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)$。
则$\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180 - 46)^{\circ}=67^{\circ}$。
因为$\angle A=\angle ABE = 46^{\circ}$，所以$\angle EBC=\angle ABC-\angle ABE$。
即$\angle EBC=67^{\circ}-46^{\circ}=21^{\circ}$。
因为$DF$是$AB$的垂直平分线，所以$\angle BDF = 90^{\circ}$。
在$\triangle BDF$中，根据三角形内角和定理$\angle F=180^{\circ}-\angle BDF-\angle ABC$。
所以$\angle F=180^{\circ}-90^{\circ}-67^{\circ}=23^{\circ}$。
综上，（1）已证$DF$是线段$AB$的垂直平分线；（2）$\angle EBC = 21^{\circ}$，$\angle F = 23^{\circ}$。

8. [2024·南充]如图，在△ABC 中，点 D 为 BC 边的中点，过点 B 作 BE // AC 交 AD 的延长线于点 E.
(1)求证：△BDE ≌ △CDA；
(2)若 AD ⊥ BC，求证：BA = BE.

答案：
(1)
证明：
因为$BE// AC$，
所以$\angle BED = \angle CAD$，$\angle EBD = \angle ACD$。
因为点$D$为$BC$边的中点，
所以$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDA$中，
$\begin{cases}\angle BED = \angle CAD,\\\angle EBD = \angle ACD,\\BD = CD.\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）定理，
所以$\triangle BDE\cong\triangle CDA$。
(2)
由（1）知$\triangle BDE\cong\triangle CDA$，
所以$AC = BE$，$AD = ED$。
因为$AD\perp BC$，
在$\triangle ABD$和$\triangle EBD$中，
$\begin{cases}BD = BD,\\\angle BDA=\angle BDE = 90^{\circ},\\AD = ED.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，
所以$\triangle ABD\cong\triangle EBD$，
所以$BA = BE$。

9. （推理能力）如图，在△ABC 中，∠ABC = 30°，∠ACB = 50°，DE、FG 分别为 AB、AC 的垂直平分线，点 E、G 分别为垂足.
(1)直接写出∠BAC 的度数；
(2)求∠DAF 的度数；
(3)若△DAF 的周长为 20，求 BC 的长.

答案： 9.
(1)100°
(2)20°
(3)20