《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

1. 下列命题中原命题和逆命题都是真命题的是（C）
A.如果一个整数的个位数是5，那么这个整数能被5整除
B.如果$|a|＞|b|$，那么$a＞b$
C.如果一个三角形被一条线平分成两个面积相等的三角形，那么这条线为这个三角形的中线
D.三角形的一个外角大于任何一个内角

答案： 1. C

2. 一个命题由“条件”和“结论”两部分组成，则命题“同角的余角相等”的条件是两个角是同一个角的余角.

答案： 2. 两个角是同一个角的余角

3. 如图，点D是$\triangle ABC$外一点，连结BD、AD，AD与BC交于点O. 下列三个等式：①$BC=AD$；②$\angle ABC=\angle BAD$；③$AC=BD$. 请从中任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，然后对该真命题进行证明.

答案： 已知：BC=AD，AC=BD。求证：∠ABC=∠BAD。
证明：在△ABC和△BAD中，
∵BC=AD（已知），
AC=BD（已知），
AB=BA（公共边），
∴△ABC≌△BAD（SSS）。
∴∠ABC=∠BAD（全等三角形对应角相等）。

4. [2023·泸州]如图，点B在线段AC上，$BD// CE$，$AB=EC$，$DB=BC$. 求证：$AD=EB$.

答案： 证明：
∵ $ BD // CE $，
∴ $ \angle ABD = \angle ECB $（两直线平行，同位角相等）。
在$ \triangle ABD $和$ \triangle ECB $中，
$ AB = EC $（已知），
$ \angle ABD = \angle ECB $（已证），
$ DB = BC $（已知），
∴ $ \triangle ABD \cong \triangle ECB $（SAS）。
∴ $ AD = EB $（全等三角形的对应边相等）。

5. [2024·长沙]如图，点C在线段AD上，$AB=AD$，$\angle B=\angle D$，$BC=DE$.
（1）求证：$\triangle ABC\cong\triangle ADE$；
（2）若$\angle BAC=60^{\circ}$，求$\angle ACE$的度数.

答案： 1. （1）证明：
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，
已知$AB = AD$，$\angle B=\angle D$，$BC = DE$。
根据三角形全等判定定理中的“边角边”（$SAS$）：
若两个三角形的两组对应边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。
这里$AB$与$AD$是一组对应边，$\angle B$与$\angle D$是夹角，$BC$与$DE$是另一组对应边。
所以$\triangle ABC\cong\triangle ADE(SAS)$。
2. （2）
因为$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，所以$\angle BAC=\angle DAE = 60^{\circ}$，$AC = AE$。
在$\triangle ACE$中，$AC = AE$，所以$\triangle ACE$是等腰三角形。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle CAE=\angle BAC+\angle DAE$（由$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，$\angle BAC=\angle DAE$），则$\angle CAE = 60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$。
再根据等腰三角形的性质$\angle ACE=\angle AEC$，由三角形内角和公式$\angle ACE+\angle AEC+\angle CAE = 180^{\circ}$，设$\angle ACE = x$，则$2x+120^{\circ}=180^{\circ}$。
移项可得$2x=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$。
综上，（1）已证明$\triangle ABC\cong\triangle ADE$；（2）$\angle ACE$的度数为$30^{\circ}$。