《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

11. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = \angle ACB = 72^{\circ} $,$ BD $、$ CE $ 分别是 $ \angle ABC $ 和 $ \angle ACB $ 的平分线,它们的交点为 $ F $,则图中共有8个等腰三角形.

答案： 11. 8

12. 如图,点 $ D $ 是等边三角形 $ ABC $ 内一点,且 $ DB = DA $,$ BP = AB $,$ \angle DBP = \angle DAC $.则 $ \angle P $ 的度数为30°.

答案： 12. 30°

13. (14 分)[2024·常州]如图,点 $ B $、$ E $、$ C $、$ F $ 是直线 $ l $ 上的四点,$ AC $、$ DE $ 相交于点 $ G $,$ AB = DF $,$ AC = DE $,$ BC = EF $. 求证:$ \triangle GEC $ 是等腰三角形.

答案： 13. 证明：在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中，
$\begin{cases}AB = DF \\AC = DE \\BC = EF\end{cases}$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DFE$（SSS）
$\therefore \angle ACB = \angle DEF$
$\therefore GE = GC$
$\therefore \triangle GEC$是等腰三角形

14. (14 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 70^{\circ} $,$ AB = AC = 8 $,$ D $ 为 $ BC $ 的中点,点 $ N $ 在线段 $ AD $ 上,$ NM // AC $ 交 $ AB $ 于点 $ M $,$ BN = 3 $.
(1)求 $ \angle CAD $ 的度数;
(2)求 $ \triangle BMN $ 的周长.

答案： 14.
(1)∠CAD的度数为20°.
(2)△BMN的周长为11.

15. (18 分)已知点 $ C $ 为线段 $ AB $ 上一点,分别以 $ AC $、$ BC $ 为边在线段 $ AB $ 的同侧作 $ \triangle ACD $ 和 $ \triangle BCE $,且 $ CA = CD $,$ CB = CE $,$ \angle ACD = \angle BCE $,直线 $ AE $ 与 $ BD $ 交于点 $ F $.
(1)如图 1,若 $ \angle ACD = 60^{\circ} $,则 $ \angle AFB = $$60^{\circ}$,如图 2,若 $ \angle ACD = 90^{\circ} $,则 $ \angle AFB = $$90^{\circ}$,如图 3,若 $ \angle ACD = \alpha $,则 $ \angle AFB = $$\alpha$(用含 $ \alpha $ 的式子表示);
(2)设 $ \angle ACD = \alpha $,将图 3 中的 $ \triangle ACD $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转任意角度(交点 $ F $ 至少在 $ BD $、$ AE $ 中的一条线段上),如图 4,试探究 $ \angle AFB $ 与 $ \alpha $ 的数量关系,并予以证明.

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答案： 1. （1）
当$\angle ACD = 60^{\circ}$时：
因为$\angle ACD=\angle BCE = 60^{\circ}$，$CA = CD$，$CB = CE$，所以$\triangle ACD$和$\triangle BCE$是等边三角形。
则$AC = CD$，$CE = CB$，$\angle ACE=\angle ACD+\angle DCE$，$\angle DCB=\angle BCE+\angle DCE$，所以$\angle ACE=\angle DCB$。
在$\triangle ACE$和$\triangle DCB$中，$\begin{cases}AC = CD\\\angle ACE=\angle DCB\\CE = CB\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ACE\cong\triangle DCB$。
所以$\angle CAE=\angle CDB$。
又因为$\angle DHF=\angle AHC$（对顶角相等），在$\triangle ACH$和$\triangle DFH$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AFB=\angle ACD = 60^{\circ}$。
当$\angle ACD = 90^{\circ}$时：
因为$\angle ACD=\angle BCE = 90^{\circ}$，$CA = CD$，$CB = CE$，所以$\triangle ACD$和$\triangle BCE$是等腰直角三角形。
则$AC = CD$，$CE = CB$，$\angle ACE=\angle ACD+\angle DCE$，$\angle DCB=\angle BCE+\angle DCE$，所以$\angle ACE=\angle DCB$。
在$\triangle ACE$和$\triangle DCB$中，$\begin{cases}AC = CD\\\angle ACE=\angle DCB\\CE = CB\end{cases}$，根据$SAS$定理可得$\triangle ACE\cong\triangle DCB$。
所以$\angle CAE=\angle CDB$。
又因为$\angle DHF=\angle AHC$（对顶角相等），在$\triangle ACH$和$\triangle DFH$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AFB=\angle ACD = 90^{\circ}$。
当$\angle ACD=\alpha$时：
因为$\angle ACD=\angle BCE=\alpha$，$CA = CD$，$CB = CE$，所以$\angle ACE=\angle ACD+\angle DCE$，$\angle DCB=\angle BCE+\angle DCE$，即$\angle ACE=\angle DCB$。
在$\triangle ACE$和$\triangle DCB$中，$\begin{cases}AC = CD\\\angle ACE=\angle DCB\\CE = CB\end{cases}$，根据$SAS$定理可得$\triangle ACE\cong\triangle DCB$。
所以$\angle CAE=\angle CDB$。
又因为$\angle DHF=\angle AHC$（对顶角相等），在$\triangle ACH$和$\triangle DFH$中，根据三角形内角和$180^{\circ}$，可得$\angle AFB=\angle ACD=\alpha$。
故答案依次为：$60^{\circ}$；$90^{\circ}$；$\alpha$。
2. （2）
解（证明）：
因为$\angle ACD=\angle BCE=\alpha$，所以$\angle ACD+\angle DCE=\angle BCE+\angle DCE$，即$\angle ACE=\angle DCB$。
在$\triangle ACE$和$\triangle DCB$中，$\begin{cases}CA = CD\\\angle ACE=\angle DCB\\CE = CB\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ACE\cong\triangle DCB$。
所以$\angle CAE=\angle CDB$。
设$AC$与$BD$交于点$H$，因为$\angle AHB=\angle DHF$（对顶角相等）。
在$\triangle AHB$中，$\angle AHB + \angle HAB+\angle ABH=180^{\circ}$；在$\triangle DHF$中，$\angle DHF+\angle HDF+\angle DFH = 180^{\circ}$。
把$\angle CAE=\angle CDB$（即$\angle HAB=\angle HDF$）代入可得$\angle AFB=\angle ACD$。
所以$\angle AFB = 180^{\circ}-\alpha$。
综上，（1）答案依次为$60^{\circ}$，$90^{\circ}$，$\alpha$；（2）$\angle AFB = 180^{\circ}-\alpha$。