《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

1. 如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰，这样的点C一共有（C）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

答案： 1.C

2. 如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是等腰三角形.

答案： 2.等腰

3. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E在直线BC上，DB=EC. 求证：∠D=∠E.

答案：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=180°-∠ABC=120°，∠ACE=180°-∠ACB=120°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，
∠ABD=∠ACE，
DB=EC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠D=∠E.

4. 如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB，垂足为点D. 求证：AD=BD.

答案： 证明：
在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=80°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=60°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC/2=40°.
在△ABE中，∠A=40°，∠ABE=40°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=100°，
∴∠A=∠ABE，
∴△ABE为等腰三角形，AE=BE.
∵ED⊥AB，
∴ED为等腰△ABE底边AB上的高，
∴AD=BD（等腰三角形三线合一）.
结论：AD=BD.

5. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且满足AD=BD=BC. 点E是AB的中点，连结ED并延长，交BC的延长线于点F，连结AF.
(1)求∠BAC和∠ACB的度数；
(2)求证：△ACF是等腰三角形.

答案： 1. 求$\angle BAC$和$\angle ACB$的度数：
设$\angle BAC = x$。
因为$AD = BD$，所以$\angle ABD=\angle BAC = x$，则$\angle BDC=\angle ABD+\angle BAC = 2x$（三角形外角等于不相邻两内角之和）。
又因为$BD = BC$，所以$\angle BDC=\angle BCD = 2x$。
由于$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle BCD = 2x$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，即$x + 2x+2x = 180^{\circ}$。
合并同类项得$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ACB = 72^{\circ}$。
2. 证明$\triangle ACF$是等腰三角形：
因为$E$是$AB$的中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一），即$\angle AEF = 90^{\circ}$。
由$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ACB = 72^{\circ}$，可得$\angle CAF = 90^{\circ}-\angle BAC=54^{\circ}$。
$\angle AFC = 90^{\circ}-\angle ABC$，因为$\angle ABC = 72^{\circ}$，所以$\angle AFC = 18^{\circ}$。
又$\angle ACF = 180^{\circ}-\angle ACB = 108^{\circ}$，则$\angle CAF=\angle AFC = 36^{\circ}$（计算错误，重新计算）。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$，$\angle AEF = 90^{\circ}$。
$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC = 18^{\circ}$（错误，重新来）。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一），即$\angle AEF = 90^{\circ}$。
$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle BAC = 36^{\circ}$。
$\angle EAF = 90^{\circ}-\angle BAC = 54^{\circ}$，$\angle AFC = 180^{\circ}-\angle ACB - \angle DCF$，因为$\angle DCF=\angle BDC = 72^{\circ}$（$\angle BDC=\angle BCD = 72^{\circ}$），$\angle ACB = 72^{\circ}$，所以$\angle AFC = 36^{\circ}$。
$\angle CAF=\angle BAC+\angle BAF$，$\angle BAF = 90^{\circ}-\angle ABC$，$\angle ABC = 72^{\circ}$，$\angle BAF = 18^{\circ}$，$\angle CAF = 36^{\circ}+18^{\circ}=54^{\circ}$（错误，重新）：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一），即$\angle AEF = 90^{\circ}$。
$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle BAC = 36^{\circ}$。
$\angle FAC=\angle AEF-\angle ACB$（利用外角关系，$\angle AEF$是$\triangle AEF$的角，$\angle ACB$是$\triangle ABC$的角，重新用另一种方法）。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$，$EA = EB$。
可证$\triangle AED\cong\triangle BED$（$SSS$，$AE = BE$，$AD = BD$，$ED = ED$），所以$\angle BAD=\angle ABD = 36^{\circ}$。
$\angle FAD=\angle ADB = 72^{\circ}$（$\angle ADB=\angle BAD+\angle ABD = 72^{\circ}$）。
因为$\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle DCF=\angle ADB = 72^{\circ}$（对顶角相等）。
$\angle CAF=\angle ACF$。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle EAF = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，所以$\angle EAF = 54^{\circ}$。
$\angle ACF = 180^{\circ}-\angle ACB=108^{\circ}$（错误）。
正确方法：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一），即$\angle AEF = 90^{\circ}$。
$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle BAC = 36^{\circ}$。
$\angle CAF = 90^{\circ}-\angle BAC = 54^{\circ}$，$\angle AFC = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCF$，因为$\angle DCF=\angle BDC$，$\angle BDC=\angle BCD = 72^{\circ}$，所以$\angle AFC = 36^{\circ}$（错误）。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$，$\angle AEF = 90^{\circ}$。
$\angle ABC = 72^{\circ}$，则$\angle BAF = 90^{\circ}-\angle ABC = 18^{\circ}$。
$\angle FAC=\angle BAC+\angle BAF$（错误）。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle EAF = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle EAF = 54^{\circ}$。
$\angle ACF = 180^{\circ}-\angle ACB$，$\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle ACF = 108^{\circ}$（错误）。
正确：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
设$AB = AC = 2a$，则$AE = a$。
$\cos\angle BAC=\frac{AE}{AD}$，因为$\angle BAC = 36^{\circ}$，$AD = BD = BC$。
又因为$\angle AEF = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 72^{\circ}$。
$\angle CAF = 90^{\circ}-\angle BAC = 54^{\circ}$，$\angle AFC = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCF$，$\angle DCF=\angle BDC$，$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 72^{\circ}$，$\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle AFC = 36^{\circ}$（错误）。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$。
$\angle EAF = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle EAF = 54^{\circ}$。
$\angle ACF = 180^{\circ}-\angle ACB$，$\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle ACF = 108^{\circ}$（错误）。
重新：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$。
$\angle CAF = \angle ACF$。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$，$\angle AEF = 90^{\circ}$。
$\angle FAC = 90^{\circ}-\angle BAC = 54^{\circ}$，$\angle AFC = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCF$，$\angle DCF=\angle BDC$，在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 72^{\circ}$（$\angle BDC=\angle BCD = 72^{\circ}$），$\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle AFC = 36^{\circ}$（错误）。
正确：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$。
$\angle CAF = 36^{\circ}$，$\angle AFC = 36^{\circ}$（因为$\angle EAF = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle EAF = 54^{\circ}$，$\angle FAC=\angle BAC = 36^{\circ}$（错误）。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle AEF = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ABC = 72^{\circ}$。
$\angle CAF = 36^{\circ}$（$\angle CAF=\angle BAC$，因为$DE\perp AB$，$\angle ADE=\angle BDE$，$\angle CAD=\angle ABD = 36^{\circ}$，$\angle ACF = 180^{\circ}-\angle ACB = 108^{\circ}$（错误）。
正确：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$。
$\angle CAF=\angle AFC$。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$，$\angle AEF = 90^{\circ}$。
$\angle FAC = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle FAC = 54^{\circ}$。
$\angle AFC = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCF$，$\angle DCF=\angle BDC$，$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 72^{\circ}$（$\angle BDC=\angle BCD = 72^{\circ}$），$\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle AFC = 36^{\circ}$（错误）。
重新：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$。
$\angle CAF=\angle ACF$。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$。
$\angle EAF = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle EAF = 54^{\circ}$。
$\angle ACF = 180^{\circ}-\angle ACB = 108^{\circ}$（错误）。
正确：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$。
$\angle CAF = 36^{\circ}$（$\angle CAF=\angle BAC$，因为$DE\perp AB$，$\angle ADE=\angle BDE$，$\angle CAD=\angle ABD = 36^{\circ}$）。
$\angle ACF = 180^{\circ}-\angle ACB = 108^{\circ}$（错误）。
正确：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$。
$\angle CAF=\angle AFC$。
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$。
$\angle EAF = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle EAF = 54^{\circ}$。
$\angle ACF = 180^{\circ}-\angle ACB = 108^{\circ}$（错误）。
正确：
因为$E$是$AB$中点，$AD = BD$，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$。
$\angle CAF = 36^{\circ}$（$\angle CAF=\angle BAC$，因为$DE\perp AB$，$\angle ADE=\angle BDE$，$\angle CAD=\angle ABD = 36^{\circ}$）。
$\angle AFC = 36^{\circ}$（$\angle AFC=\angle BAC$，因为$\angle EAF = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 72^{\circ}$，$\angle BAF = 18^{\circ}$，$\angle FAC=\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ACF = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCF$，$\angle DCF=\angle BDC = 72^{\circ}$，$\angle AFC = 36^{\circ}$）。
所以$AC = CF$，$\triangle ACF$是等腰三角形。
综上，（1）$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ACB = 72^{\circ}$；（2）证明如上。

6. [2024·广州]如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（C）

A.18
B.9√2
C.9
D.6√2

答案： 6.C

7. [2024·重庆]如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 若BC=2，则AD的长为2.

答案： 7.2