《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

1. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为$0.7m$，顶端距离地面$2.4m$。如果保持梯子底端的位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距离地面$2m$，则小巷的宽度为（C）

A.$0.7m$
B.$1.5m$
C.$2.2m$
D.$2.4m$

答案： 1.C

2. 在我国古代数学著作的《九章算术》“勾股”章有一题：今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何。其意思是：如图，推开双门（$AD$和$BC$），门边缘$D$、$C$两点到门槛$AB$的距离为$1$尺（$1$尺$=10$寸），双门间的缝隙$CD$为$2$寸，那么门的宽度$AB$（两扇门宽度的和）为（B）

A.$100$寸
B.$101$寸
C.$102$寸
D.$103$寸

答案： 2.B

3. 某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为$30$元，楼梯宽为$2m$，则购买这种地毯至少需要420元。

答案： 3.420

4. 如图，在树上距地面$10m$的$D$处有两只猴子，它们同时发现地面上$C$处有一筐水果，一只猴子从$D$处向上爬到树顶$A$处，然后利用在$A$处的滑绳$AC$滑到$C$处，另一只猴子从$D$处先滑到地面$B$，再由$B$跑到$C$。已知两只猴子经过的路程都是$15m$，求树高$AB$。

答案： 4.树高AB为12m.

5. （模型观念、应用意识）[2024·陕西]如图，在$6×7$的网格中，每个小正方形的边长均为$1$，$\triangle ABC$和$\triangle DFE$的顶点都在格点上。求证：$\angle ABC=\angle DFE$。

答案： 要证明∠ABC=∠DFE，可通过证明△ABC与△EFD全等实现：
1. 计算△ABC的边长：
由网格知，A与B水平距1，垂直距2，根据勾股定理：$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
B与C水平距3，垂直距1，$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
A与C水平距2，垂直距3，$AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
2. 计算△DFE的边长：
F与E水平距1，垂直距2，$FE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
F与D水平距3，垂直距1，$FD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
D与E水平距2，垂直距3，$DE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
3. 证明三角形全等：
在△ABC和△EFD中，
$\because AB=FE=\sqrt{5}$，$BC=FD=\sqrt{10}$，$AC=ED=\sqrt{13}$，
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle EFD(SSS)$。
4. 得出角相等结论：
$\therefore \angle ABC=\angle EFD$，即$\angle ABC=\angle DFE$。
结论：$\angle ABC=\angle DFE$。