《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

如图，$AB// CD$，$AE// CF$，$BF = DE$。试找出图中其他的相等关系，并给出证明。

答案： AB = CD，AE = CF，BE = DF，∠A = ∠C，∠B = ∠D，∠AEB = ∠CFD.
证明：
因为$BF = DE$，所以$BF + FE = DE + FE$，即$BE = DF$。
因为$AB// CD$，所以$\angle B = \angle D$。
因为$AE// CF$，所以$\angle AEB = \angle CFD$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B = \angle D\\ BE = DF\\ \angle AEB = \angle CFD\end{array}\right.$，所以$\triangle ABE\cong\triangle CDF(ASA)$。
所以$AB = CD$，$AE = CF$，$\angle A = \angle C$。

1. 如图，$A$、$F$、$C$、$D$四点在一条直线上，$AF = CD$，$BC = EF$，且$AB = DE$。求证：$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。

答案： 证明：
∵A、F、C、D四点在一条直线上，AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF。
在△ABC和△DEF中，
AC=DF，
AB=DE，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）。

2. 如图，$\angle ABD = \angle CDB$，$\angle ADB = \angle CBD$。求证：$\triangle ABD\cong\triangle CDB$。

答案： 在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中，
$\begin{cases}\angle ABD = \angle CDB, \\\angle ADB = \angle CBD, \\BD = DB.\end{cases}$
根据$ASA$（角-边-角）全等条件，
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CDB$。

3. 将两块完全相同的三角形纸板$ABC$和$DEF$，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点$O$为边$AC$和$DF$的交点，不重叠的两部分$\triangle AOF$与$\triangle DOC$是否全等？为什么？

答案： 全等。
证明：因为三角形纸板$ABC$和$DEF$完全相同，所以$AB = DE$，$BC = EF$，$AC = DF$，$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$\angle C=\angle F$。
由图可知，$BF = BC - FC$，$EC = EF - FC$，又因为$BC = EF$，所以$BF = EC$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DEC$中，$\begin{cases}AB = DE\\\angle B=\angle E\\BF = EC\end{cases}$，所以$\triangle ABF\cong\triangle DEC(SAS)$，则$AF = DC$。
在$\triangle AOF$和$\triangle DOC$中，$\begin{cases}\angle A=\angle D\\\angle AOF=\angle DOC\\AF = DC\end{cases}$，