《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且$BE=CF$，$BD=CE$.
（1）求证：$\triangle DEF$是等腰三角形；
（2）当$\angle A=40^{\circ}$时，求$\angle DEF$的度数.

答案： 1. （1）证明：
因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CEF$中，$\begin{cases}BD = CE\\\angle B=\angle C\\BE = CF\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CEF$。
所以$DE = EF$。
因为有两边相等的三角形是等腰三角形，所以$\triangle DEF$是等腰三角形。
2. （2）解：
因为$\angle A = 40^{\circ}$，$AB = AC$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，且$\angle B=\angle C$，则$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180 - 40}{2}=70^{\circ}$。
由$\triangle BDE\cong\triangle CEF$，可得$\angle BDE=\angle CEF$。
又因为$\angle B+\angle BDE+\angle BED = 180^{\circ}$，$\angle BED+\angle DEF+\angle CEF = 180^{\circ}$。
所以$\angle DEF=\angle B$。
所以$\angle DEF = 70^{\circ}$。
综上，（1）已证$\triangle DEF$是等腰三角形；（2）$\angle DEF$的度数为$70^{\circ}$。

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$BA=BC$，D在边CB上，且$DB=DA=AC$.
（1）如图1，填空：$\angle B=$36$^{\circ}$，$\angle C=$72$^{\circ}$.
（2）如图2，若点M为线段BD上的点，过点M作直线$MH\perp AD$交AD的延长线于点H，分别交直线AB、AC于点N、E.
①求证：$\triangle ANE$是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明.


（2）① 证明：因为$MH\perp AD$，所以$\angle AHN = 90^{\circ}$。$\angle BAD = 36^{\circ}$，则$\angle ANH = 180^{\circ}-\angle BAD-\angle AHN=180^{\circ}-36^{\circ}-90^{\circ}=54^{\circ}$。$\angle DAC=\angle BAC - \angle BAD=72^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$，所以$\angle AED = 180^{\circ}-\angle DAC-\angle AHE=180^{\circ}-36^{\circ}-90^{\circ}=54^{\circ}$。因为$\angle ANE=\angle AEN = 54^{\circ}$，所以$AN = AE$，即$\triangle ANE$是等腰三角形。② 数量关系：$CD = BN + CE$。证明：过点$A$作$AF// CE$交$EN$于点$F$。因为$AF// CE$，所以$\angle FAE=\angle AEC$。由①知$\angle ANE=\angle AEN$，所以$\angle FAE=\angle ANF$，则$AF = AN$。又因为$AN = AE$，所以$AF = AE$。因为$\angle B = 36^{\circ}$，$\angle ANH = 54^{\circ}$，所以$\angle BNM = 180^{\circ}-\angle ANH = 126^{\circ}$，$\angle AFN = 180^{\circ}-\angle AFE=180^{\circ}-\angle AEC = 126^{\circ}$，所以$\angle BNM=\angle AFN$。因为$DB = DA$，$\angle B=\angle BAD = 36^{\circ}$，$\angle DAF=\angle BAD = 36^{\circ}$，所以$\triangle BNM\cong\triangle AFN(AAS)$，则$BN = AF$。因为$AF = AE$，$CD = AC - AD$，$AC = DA$，$AE - AN = CE$，$AN = AF = BN$，所以$CD = CE + BN$。

答案： $(1)$ 求$\angle B$和$\angle C$的度数
设$\angle B = x$，因为$DB = DA$，根据等腰三角形两底角相等，所以$\angle BAD=\angle B = x$。
根据三角形外角性质，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD = 2x$。
又因为$DA = AC$，所以$\angle C=\angle ADC = 2x$。
由于$BA = BC$，所以$\angle BAC=\angle C = 2x$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle B+\angle BAC+\angle C = 180^{\circ}$，可得$x + 2x+2x = 180^{\circ}$，
$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle B = 36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$。
$(2)$ ① 证明$\triangle ANE$是等腰三角形
解：因为$MH\perp AD$，所以$\angle AHN = 90^{\circ}$。
$\angle BAD = 36^{\circ}$，则$\angle ANH = 180^{\circ}-\angle BAD-\angle AHN=180^{\circ}-36^{\circ}-90^{\circ}=54^{\circ}$。
$\angle DAC=\angle BAC - \angle BAD=72^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$，所以$\angle AED = 180^{\circ}-\angle DAC-\angle AHE=180^{\circ}-36^{\circ}-90^{\circ}=54^{\circ}$。
因为$\angle ANE=\angle AEN = 54^{\circ}$，根据等腰三角形的判定（等角对等边），所以$AN = AE$，即$\triangle ANE$是等腰三角形。
$(2)$ ② 找出线段$BN$、$CE$、$CD$之间的数量关系并证明
解：数量关系为$CD = BN + CE$。
证明：过点$A$作$AF// CE$交$EN$于点$F$。
因为$AF// CE$，所以$\angle FAE=\angle AEC$（两直线平行，内错角相等）。
由①知$\angle ANE=\angle AEN$，所以$\angle FAE=\angle ANF$，则$AF = AN$。
又因为$AN = AE$，所以$AF = AE$。
因为$\angle B = 36^{\circ}$，$\angle ANH = 54^{\circ}$，所以$\angle BNM = 180^{\circ}-\angle ANH = 126^{\circ}$，$\angle AFN = 180^{\circ}-\angle AFE=180^{\circ}-\angle AEC = 126^{\circ}$，所以$\angle BNM=\angle AFN$。
因为$DB = DA$，$\angle B=\angle BAD = 36^{\circ}$，$\angle DAF=\angle BAD = 36^{\circ}$，所以$\triangle BNM\cong\triangle AFN(AAS)$，则$BN = AF$。
因为$AF = AE$，$CD = AC - AD$，$AC = DA$，$AE - AN = CE$，$AN = AF = BN$，所以$CD = CE + BN$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{36}$；$\boldsymbol{72}$ ；$(2)$ ① 证明如上；②$\boldsymbol{CD = BN + CE}$，证明如上。

13. 如图，点O是等边三角形ABC内一点，$\angle AOB=110^{\circ}$，$\angle BOC=\alpha$. 以OC为一边作等边三角形OCD，连结AC、AD.
（1）当$\alpha=150^{\circ}$时，试判断$\triangle AOD$的形状，并说明理由；
（2）探究：当$\alpha$为多少度时，$\triangle AOD$是等腰三角形？

答案： 13.
(1)当α=150°时,△AOD是直角三角形.理由略.
(2)当α为110°,125°或140°时,△AOD是等腰三角形.