《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

如图，点 $ B $、$ E $、$ C $、$ F $ 在同一条直线上，$ AB = DE $，$ AC = DF $，$ BE = CF $。求证：$ \angle A = \angle D $。并找出图中相互平行的线段，说明你的理由。

答案： 1. 首先证明$\angle A=\angle D$：
已知$BE = CF$，根据等式的性质，在等式两边同时加上$EC$，可得$BE + EC=CF + EC$，即$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中：
已知$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\AC = DF\\BC = EF\end{array}\right.$。
根据“边 - 边 - 边”（$SSS$）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
因为全等三角形的对应角相等，所以$\angle A=\angle D$。
2. 然后找出平行线段并说明理由：
平行线段：$AB// DE$，$AC// DF$。
理由：
因为$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，所以$\angle B=\angle DEF$，$\angle ACB=\angle F$。
根据“同位角相等，两直线平行”：
对于$AB$和$DE$，$\angle B$与$\angle DEF$是同位角，且$\angle B=\angle DEF$，所以$AB// DE$。
对于$AC$和$DF$，$\angle ACB$与$\angle F$是同位角，且$\angle ACB=\angle F$，所以$AC// DF$。
综上，$\angle A=\angle D$得证；平行线段为$AB// DE$，$AC// DF$。

1. [2024 秋·阜宁县期末]如图，已知点 $ B $、$ C $、$ D $、$ E $ 在同一条直线上，$ AC // DF $，$ AC = DF $，$ EC = BD $。
(1) 求证：$ \triangle ABC \cong \triangle FED $；
(2) 判断线段 $ AB $、$ EF $ 的关系，并说明理由。

答案： 1. （1）
解（证明）：
因为$AC// DF$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle ACB=\angle FDE$。
又因为$EC = BD$，那么$EC - CD=BD - CD$（等式的性质），即$ED = BC$。
在$\triangle ABC$和$\triangle FED$中：
已知$\left\{\begin{array}{l}AC = DF\\\angle ACB=\angle FDE\\BC = ED\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle FED$。
2. （2）
解：
$AB = EF$且$AB// EF$。
理由：
因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$AB = EF$。
又因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，所以$\angle B=\angle E$（全等三角形的对应角相等）。
根据内错角相等，两直线平行，所以$AB// EF$。
综上，（1）已证$\triangle ABC\cong\triangle FED$；（2）$AB = EF$且$AB// EF$。

2. [2024 秋·瓦房店市期末节选]如图，点 $ E $、$ B $、$ C $、$ F $ 在同一条直线上，$ CF = BE $，$ AB = DC $，$ \angle ABC = \angle BCD $，$ AF $ 与 $ DE $ 相交于点 $ O $。求证：$ \angle A = \angle D $。

答案： 证明：
∵点E、B、C、F在同一条直线上，CF=BE，
∴CF+BC=BE+BC，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，
$\begin{cases}AB = DC \\\angle ABC = \angle BCD \\BF = CE\end{cases}$
∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴∠A=∠D。

3. 如图，$ E $、$ F $ 在 $ BD $ 上，且 $ AB = CD $，$ BF = DE $，$ AE = CF $。求证：$ AC $ 与 $ BD $ 互相平分。

答案：
∵$ BF = DE $，
∴$ BF - EF = DE - EF $，
即$ BE = DF $，
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}AB = CD,\\AE = CF ,\\BE = DF.\end{cases}$
∴$\triangle ABE \cong \triangle CDF(SSS)$，
∴$\angle B = \angle D$，
∵$AB=CD，\angle AOB=\angle COD$（对顶角相等），
在$\triangle ABO$和$\triangle CDO$中
$\begin{cases} \angle B = \angle D,\\AB = CD ,\\\angle AOB=\angle COD.\end{cases}$
$ \triangle ABO \cong \triangle CDO(ASA) $，
∴$ AO = OC $，$ BO = OD $，
即$ AC $与$ BD $互相平分。