《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

1. [2024·云南]分解因式：$a^{3}-9a=$（A）
A.$a(a - 3)(a + 3)$
B.$a(a^{2}+9)$
C.$(a - 3)(a + 3)$
D.$a^{2}(a - 9)$

答案： 1.A

2. 分解因式：
(1)[2024·甘肃]$2x^{2}-8=$2(x+2)(x-2)；
(2)[2024·北京]$x^{3}-25x=$x(x+5)(x-5)；
(3)[2024·绥化]$2mx^{2}-8my^{2}=$2m(x+2y)(x-2y)；
(4)[2024·齐齐哈尔]$2a^{3}-8ab^{2}=$2a(a+2b)(a-2b)。

答案： 2.
(1)2(x+2)(x-2)
(2)x(x+5)·(x-5)
(3)2m(x+2y)(x-2y)
(4)2a(a+2b)·(a-2b)

3. 计算：
(1)$49.6^{2}-50.4^{2}=$-80；
(2)$13.3^{2}-11.7^{2}=$40。

答案： 3.
(1)-80
(2)40

4. 分解因式：
(1)$16x^{2}-64$；
(2)$a^{2}(x - y)-b^{2}(x - y)$；
(3)$(y + 2x)^{2}-(x + 2y)^{2}$。

答案： 4.
(1)16(x+2)(x-2)
(2)(x-y)(a+b)(a-b)
(3)3(x+y)(x-y)

5. 某学校打算在操场的圆环形跑道上铺塑胶路面。已知跑道外圆半径$R = 30.5$m，内圆半径$r = 24.5$m，请你帮助学校计算出需要铺塑胶的总面积。（$\pi$取$3.14$）

答案： 5.需要铺塑胶的总面积约为$1036.2m^2.$

6. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：$a - b$、$x - y$、$x + y$、$a + b$、$x^{2}-y^{2}$、$a^{2}-b^{2}$分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美。现将$(x^{2}-y^{2})a^{2}-(x^{2}-y^{2})b^{2}$因式分解，结果呈现的密码信息可能是（C）
A.我爱游
B.中华美
C.我爱中华
D.美我中华

答案： 6.C

7. [2024 秋·嘉定期中]定义：如果一个正整数能表示为两个正整数$m$、$n$的平方差，且$m - n = 2$，则称这个正整数为“智慧优数”。例如，当$m = 3$，$n = 1$时，$8 = 3^{2}-1^{2}$，$8$是一个智慧优数。若将智慧优数从小到大排列，第$2024$个智慧优数是8100。

答案： 7.8100

8. 因式分解：
(1)$p^{4}-1$；
(2)$(x - 2y)^{2}-4x^{2}$；
(3)$(4a + b)^{2}-4(a + b)^{2}$；
(4)$9(x + y)^{2}-4(x - y)^{2}$。

答案： $8.(1)(p^2+1)(p+1)(p-1)$
(2)-(3x-2y)(x+2y)
(3)3(2a+b)(2a-b)
(4)(5x+y)(x+5y)

9. (创新意识)[2023·嘉兴、舟山]观察下面的等式：$3^{2}-1^{2}=8×1$，$5^{2}-3^{2}=8×2$，$7^{2}-5^{2}=8×3$，$9^{2}-7^{2}=8×4$，……
(1)写出$19^{2}-17^{2}$的结果；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含$n$的等式表示，$n$为正整数）；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的。

答案： 1. （1）
因为$19 = 2×10 - 1$，$17 = 2×9 - 1$，观察规律$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=8n$（先看后面的规律，这里$n$从$1$开始），当$2n+1 = 19$时，$n = 9$。
直接计算：$19^{2}-17^{2}=(19 + 17)×(19 - 17)=36×2 = 72$。
2. （2）
观察等式：
当$n = 1$时，$(2×1 + 1)^{2}-(2×1 - 1)^{2}=3^{2}-1^{2}=8×1$；
当$n = 2$时，$(2×2 + 1)^{2}-(2×2 - 1)^{2}=5^{2}-3^{2}=8×2$；
当$n = 3$时，$(2×3+1)^{2}-(2×3 - 1)^{2}=7^{2}-5^{2}=8×3$；
所以一般结论为$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=8n$（$n$为正整数）。
3. （3）
解（证明）：
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对于$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}$，这里$a=2n + 1$，$b = 2n - 1$。
则$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=[(2n + 1)+(2n - 1)][(2n + 1)-(2n - 1)]$。
先计算中括号内的值：$(2n + 1)+(2n - 1)=2n + 1+2n - 1 = 4n$，$(2n + 1)-(2n - 1)=2n + 1-2n + 1 = 2$。
所以$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=4n×2=8n$，即结论$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=8n$（$n$为正整数）是正确的。
综上，（1）$72$；（2）$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=8n$（$n$为正整数）；（3）证明如上。