《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

2. 如图，已知AC⊥BD，垂足为点P，AP=CP，请添加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你添加的条件是BP = DP(∠A = ∠C,AB = CD 或 ∠B = ∠D等)。

答案： 2. BP = DP(∠A = ∠C,AB = CD 或 ∠B = ∠D等)

3. [2024秋·眉山期中]如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C、B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是AB = DC。

答案： 3. AB = DC

4. 已知：线段m、n。
求作：分别以线段m、n为斜边和直角边的直角三角形。
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

答案：

5. [2024秋·内江期中]求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。（请画出图形，写出已知、求证并完成证明）

答案： 图形
（画两个直角三角形Rt△ABC和Rt△A'B'C'，其中∠C=∠C'=90°，AB、A'B'为斜边，CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'）
已知
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，CD和C'D'分别为斜边AB、A'B'上的高，且CD=C'D'．
求证
Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
证明
∵CD⊥AB，C'D'⊥A'B'，
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，
$\begin{cases} AC=A'C' \\ CD=C'D' \end{cases}$，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'（HL）．
∴∠A=∠A'（全等三角形对应角相等）．
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases} ∠A=∠A' \\ AC=A'C' \\ ∠C=∠C' \end{cases}$，
∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）．
即有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．

6. （推理能力）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE，垂足为点D，CE⊥DE，垂足为点E，AD=CE。
（1）若B、C在DE的同侧（如图1），求证：AB⊥AC。
（2）若B、C在DE的两侧（如图2），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由。

答案： 1. （1）
解：
因为$BD\perp DE$，$CE\perp DE$，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle CAE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\AD = CE\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CAE$。
所以$\angle BAD=\angle ACE$。
因为$\angle ACE+\angle CAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle CAE = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BAC+\angle BAD+\angle CAE = 180^{\circ}$，所以$\angle BAC=180^{\circ}-(\angle BAD + \angle CAE)=90^{\circ}$，即$AB\perp AC$。
2. （2）
解：
因为$BD\perp DE$，$CE\perp DE$，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle CAE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\AD = CE\end{array}\right.$。
根据$HL$定理，$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CAE$。
所以$\angle BAD=\angle ACE$。
因为$\angle CAE+\angle ACE = 90^{\circ}$，所以$\angle CAE+\angle BAD = 90^{\circ}$，即$\angle BAC = 90^{\circ}$。
所以$AB\perp AC$。
综上，（1）得证$AB\perp AC$；（2）$AB$与$AC$垂直。