《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

2. 已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a（保留作图痕迹，不写作法）.

答案：

3. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A. 求证：DE=BC.

答案： 证明：
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△CDE中，
∠A=∠DCE（已知），
AB=CD（已知），
∠B=∠EDC（已证），
∴△ABC≌△CDE（ASA）。
∴BC=DE（全等三角形对应边相等），
即DE=BC。

4. [2024·镇江]如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB.
(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=20°.

（1）证明：在$\triangle ABC$和$\triangle BAD$中，已知$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$\angle CBA=\angle DAB$，且$AB = BA$（公共边）。根据$AAS$判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle BAD$。

答案： 1. （1）证明：
在$\triangle ABC$和$\triangle BAD$中，
已知$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$\angle CBA=\angle DAB$，且$AB = BA$（公共边）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle BAD$。
2. （2）
因为$\angle DAB = 70^{\circ}$，$\angle CBA=\angle DAB$，所以$\angle CBA = 70^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle C+\angle CAB+\angle CBA=180^{\circ}$。
把$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle CBA = 70^{\circ}$代入$\angle CAB=180^{\circ}-\angle C - \angle CBA$，可得$\angle CAB=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
故答案为：（1）见上述证明过程；（2）$20$。

5. [2024秋·东阳市月考]如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC//DF，AB//DE，AB=DE. 若BE=1，EC=3，求BF的长.

答案： 5. 证明：
∵AC//DF，AB//DE，
∴∠ACB=∠F，∠B=∠DEF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases}∠B=∠DEF \\∠ACB=∠F \\AB=DE\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴BC=EF。
∵BC=BE+EC=1+3=4，
∴EF=4，
∴CF=EF-EC=4-3=1，
∴BF=BE+EC+CF=1+3+1=5。

6. （推理能力）(1)如图1，AB//CD，BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上. 求证：BC=AB+CD.
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连结AD. 过点B作BE⊥AD交AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F. 若BE=4，CF=1，则EF的长为3.

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答案： 1. （1）证明：
证明：在$BC$上截取$BF = AB$，连接$EF$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle FBE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle FBE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BF\\\angle ABE=\angle FBE\\BE = BE\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle FBE$。
所以$\angle A=\angle BFE$。
因为$AB// CD$，所以$\angle A+\angle D = 180^{\circ}$。
又因为$\angle BFE+\angle CFE = 180^{\circ}$，所以$\angle D=\angle CFE$。
因为$CE$平分$\angle BCD$，所以$\angle DCE=\angle FCE$。
在$\triangle DCE$和$\triangle FCE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle D=\angle CFE\\\angle DCE=\angle FCE\\CE = CE\end{array}\right.$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle DCE\cong\triangle FCE$。
所以$CD = CF$。
因为$BC=BF + CF$，$AB = BF$，$CD = CF$，所以$BC = AB + CD$。
2. （2）
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle CAF = 90^{\circ}$。
因为$BE\perp AD$，$CF\perp AD$，所以$\angle BEA=\angle AFC = 90^{\circ}$，$\angle EBA+\angle BAE = 90^{\circ}$，所以$\angle EBA=\angle CAF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BEA=\angle AFC\\\angle EBA=\angle CAF\\AB = AC\end{array}\right.$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle CAF$。
所以$AE = CF = 1$，$AF = BE = 4$。
则$EF=AF - AE$，把$AE = 1$，$AF = 4$代入可得$EF=4 - 1=3$。
故答案为：$3$。