《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

1. 用反证法证明命题：如果 $ AB // CD $，$ AB // EF $，那么 $ CD // EF $。证明的第一步应是（B）
A.假设 $ CD // EF $
B.假设 $ CD $ 不平行于 $ EF $
C.假设 $ AB // EF $
D.假设 $ AB $ 不平行于 $ EF $

答案： 1. B

2. [2024·山西月考]阅读下列证明过程并补充完整。
已知：如图 1，直线 $ AB // CD $，直线 $ EF $ 分别与 $ AB $、$ CD $ 交于点 $ O $、$ O' $。
求证：$ \angle 1 = \angle 2 $。
（1）将下面证明过程补充完整。
证明：假设∠1 ≠ ∠2。
如图 2，过点 $ O $ 作直线 $ A'B' $，使 $ \angle EOB' = \angle 2 $。
$ \therefore A'B' // CD $（同位角相等，两直线平行）。
又 $ \because AB // CD $，且直线 $ AB $ 经过点 $ O $，
$ \therefore $过点 $ O $ 存在两条直线 $ AB $、$ A'B' $ 与直线 $ CD $ 平行，
这与基本事实矛盾，假设不成立，
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $。
（2）上述证明过程中提到的基本事实是②。（填序号）
①两点确定一条直线；
②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行。

答案： 2.
(1) ∠1 ≠ ∠2 同位角相等，两直线平行
(2) ②

3. 如图，若直线 $ a \perp l $ 于点 $ A $，$ b \perp l $ 于点 $ B $。（用反证法证明）
求证：$ a // b $。

答案： 假设$a$与$b$不平行，
则$a$与$b$交于一点，设交点为$P$，
因为$a \perp l$于点$A$，
所以$a$与$l$的夹角为$90°$，
因为$b \perp l$于点$B$，
所以$b$与$l$的夹角为$90°$，
则过一点$P$有两条不同的直线$a$、$b$与直线$l$垂直，
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，
所以假设不成立，即$a // b$。

4. 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。（画出图形，写出已知、求证，并运用反证法进行证明）

答案： 答题卡：
图形：画一个任意三角形$ABC$。
已知：在$\triangle ABC$中，$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$为三角形的三个内角。
求证：在$\triangle ABC$中，不能有两个角是钝角。
证明：
假设在$\triangle ABC$中，存在两个钝角。不妨设$\angle A ＞ 90^{\circ}$，$\angle B ＞ 90^{\circ}$。
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为$180^{\circ}$，即$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$。
由于$\angle A ＞ 90^{\circ}$且$\angle B ＞ 90^{\circ}$，则$\angle A + \angle B ＞ 180^{\circ}$。
结合步骤2和步骤3，我们得到$\angle A + \angle B + \angle C ＞ 180^{\circ}$，这与三角形内角和定理相矛盾。
由于我们找到了矛盾，所以我们的假设——在$\triangle ABC$中存在两个钝角，是错误的。
因此，我们证明了在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

5. （推理能力）如图，点 $ P $ 是 $ \triangle ABC $ 内的一点，若 $ AB = AC $，$ \angle APB \neq \angle APC $。求证：$ PB \neq PC $。（用反证法证明）

答案： 假设PB=PC。
∵AB=AC，AP=AP，PB=PC，
∴△APB≌△APC（SSS）。
∴∠APB=∠APC。
这与已知∠APB≠∠APC矛盾。
∴假设不成立，即PB≠PC。