《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

3. [2024·玉环市期末]如图，$\triangle ABC$ 是等腰三角形，其中 $AC = AB$，$BC = 3$，点 $D$ 是线段 $AB$ 上一点，满足 $BD = 1.8$，连结 $CD$，$CD = 2.4$.
(1)求证：$CD\perp AB$；
(2)求 $AC$ 的长.

答案： 1. （1）证明$CD\perp AB$：
解：在$\triangle BCD$中，已知$BD = 1.8$，$CD = 2.4$，$BC = 3$。
根据勾股定理的逆定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为最长边），计算$BD^{2}+CD^{2}$的值：
$BD^{2}+CD^{2}=1.8^{2}+2.4^{2}$
$1.8^{2}=( \frac{9}{5})^{2}=\frac{81}{25}$，$2.4^{2}=( \frac{12}{5})^{2}=\frac{144}{25}$。
则$BD^{2}+CD^{2}=\frac{81 + 144}{25}=\frac{225}{25}=9$。
又因为$BC^{2}=3^{2}=9$。
所以$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$。
由勾股定理的逆定理可知，$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle BDC = 90^{\circ}$，即$CD\perp AB$。
2. （2）求$AC$的长：
解：设$AC = AB=x$，因为$AB=x$，$BD = 1.8$，所以$AD=x - 1.8$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$（其中$AC$为斜边）。
即$x^{2}=(x - 1.8)^{2}+2.4^{2}$。
展开$(x - 1.8)^{2}$：
根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 1.8$，则$(x - 1.8)^{2}=x^{2}-3.6x + 3.24$。
所以$x^{2}=x^{2}-3.6x + 3.24+2.4^{2}$。
又因为$2.4^{2}=5.76$，则$x^{2}=x^{2}-3.6x + 3.24 + 5.76$。
移项可得：$x^{2}-x^{2}+3.6x=3.24 + 5.76$。
合并同类项得$3.6x=9$。
解得$x=\frac{9}{3.6}=2.5$。
所以（1）得证$CD\perp AB$；（2）$AC$的长为$2.5$。

4. [2024 秋·登封市校级期中]如图，点 $D$ 是 $\triangle ABC$ 边 $BC$ 的中点，过点 $D$ 作 $DE\perp BC$，垂足为点 $D$，$BD = 5$，$DE=\frac{15}{4}$，$AE=\frac{7}{4}$，$AC = 6$，$\triangle ABC$ 是直角三角形吗？请通过计算说明理由.

答案： 4.$\triangle ABC$是直角三角形,理由略.

5.（创新意识）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为 $1$，小正方形的顶点称为格点. 已知点 $A$、$B$、$C$ 都在格点上.

(1)小明发现图中 $\angle ABC$ 是直角，请补全他的思路.
先利用勾股定理求出 $\triangle ABC$ 的三条边长，可得 $AB=$$\sqrt{10}$，$BC=$$\sqrt{10}$，$AC=$$\sqrt{20}$. 从而可得三边数量关系为$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，根据勾股定理的逆定理，可以证明 $\angle ABC$ 是直角.
(2)请用一种不同于小明的方法说明 $\angle ABC$ 是直角.
略

答案： 5.
(1)$\sqrt{10}$ $\sqrt{10}$ $\sqrt{20}$ $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$
参考答案 - 33 -
勾股定理的逆定理
(2)略