《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

2. 如图所示，已知$\angle \alpha$和线段$a$，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于$\angle \alpha$，夹这个角的两边分别为$2a$和$a$(保留作图痕迹，不写作法).

答案：

3. [2024·乐山]如图，$AB$是$\angle CAD$的平分线，$AC = AD$，求证：$\angle C = \angle D$.

答案： 证明：
∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB=∠DAB。
在△ACB和△ADB中，
AC=AD（已知），
∠CAB=∠DAB（已证），
AB=AB（公共边），
∴△ACB≌△ADB（SAS）。
∴∠C=∠D（全等三角形的对应角相等）。

4. [2024·遂宁]如图1，$\triangle ABC$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$满足$\angle A = \angle A_{1}$，$AC = A_{1}C_{1}$，$BC = B_{1}C_{1}$，$\angle C \neq \angle C_{1}$，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”. 如图2，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$、$E$在线段$BC$上，且$BE = CD$，则图中共有“伪全等三角形” (D)

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

答案： 4 D

5. [2024·西藏]如图，点$C$是线段$AB$的中点，$AD = BE$，$\angle A = \angle B$. 求证：$\angle D = \angle E$.

答案： 证明：
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC。
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=BE,\\ \angle A=\angle B,\\ AC=BC,\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS）。
∴∠D=∠E。

6. [2024·云南]如图，在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，$AB = AE$，$\angle BAE = \angle CAD$，$AC = AD$. 求证：$\triangle ABC \cong \triangle AED$.

答案： $\because \angle BAE = \angle CAD$，
$\therefore \angle BAE + \angle CAE = \angle CAD + \angle CAE$，
即$\angle BAC = \angle EAD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，
$\begin{cases}AB = AE, \\ \angle BAC = \angle EAD, \\ AC = AD.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle AED(SAS)$。

7. (推理能力)如图，在$\triangle ABC$中，点$D$是$BC$边上的一点，$AB = DB$，$BE$平分$\angle ABC$，交$AC$边于点$E$，连结$DE$.
(1)求证：$\triangle ABE \cong \triangle DBE$；
(2)若$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle C = 50^{\circ}$，求$\angle AEB$的度数.

答案： 1. （1）证明：
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle DBE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DBE$中：
$AB = DB$（已知），$\angle ABE=\angle DBE$（已证），$BE = BE$（公共边）。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle DBE$。
2. （2）解：
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$。
已知$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle C = 50^{\circ}$，则$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A - \angle C$。
把$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle C = 50^{\circ}$代入可得：$\angle ABC=180 - 100-50=30^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC$。
则$\angle ABE=\frac{1}{2}×30^{\circ}=15^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形内角和定理$\angle AEB = 180^{\circ}-\angle A-\angle ABE$。
把$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle ABE = 15^{\circ}$代入可得：$\angle AEB=180 - 100 - 15=65^{\circ}$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$\angle AEB$的度数为$65^{\circ}$。