《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

8. [2024·内江]如图，在$\triangle ABC$中，$\angle DCE = 40^{\circ}$，$AE = AC$，$BC = BD$，则$\angle ACB$的度数为100$^{\circ}$。

答案： 8.100°

9. [2023·苏州]如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线。以点$A$为圆心、$AD$的长为半径画弧，与$AB$、$AC$分别交于点$E$、$F$，连结$DE$、$DF$。
(1)求证：$\triangle ADE \cong \triangle ADF$；
(2)若$\angle BAC = 80^{\circ}$，求$\angle BDE$的度数。

答案： 1. （1）证明：
因为$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle EAD=\angle FAD$。
又因为以点$A$为圆心、$AD$的长为半径画弧，与$AB$、$AC$分别交于点$E$、$F$，所以$AE = AD=AF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle ADF$中：
$\begin{cases}AE = AF\\\angle EAD=\angle FAD\\AD = AD\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle ADF$。
2. （2）解：
因为$AB = AC$，$\angle BAC = 80^{\circ}$，根据等腰三角形内角和公式$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)$。
则$\angle B=\frac{1}{2}(180 - 80)^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一性质，$AD\perp BC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
又因为$AE = AD$，$\angle EAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$，在$\triangle ADE$中，$\angle ADE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle EAD)$（等腰三角形两底角相等）。
所以$\angle ADE=\frac{1}{2}(180 - 40)^{\circ}=70^{\circ}$。
那么$\angle BDE=\angle ADB-\angle ADE$。
即$\angle BDE = 90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
综上，（1）已证$\triangle ADE\cong\triangle ADF$；（2）$\angle BDE$的度数为$20^{\circ}$。

10. 如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$、$E$分别在边$BC$、$AC$上，且$AE = CD$，$BE$与$AD$相交于点$P$，$BQ \perp AD$，垂足为点$Q$。
(1)求证：$\triangle ABE \cong \triangle CAD$；
(2)求$\angle BPQ$的度数。

答案： 1. （1）证明$\triangle ABE\cong\triangle CAD$：
已知$\triangle ABC$是等边三角形，根据等边三角形的性质可知$AB = AC$，$\angle BAC=\angle C = 60^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAD$中：
$AB = AC$（已证）；
$\angle BAE=\angle C$（已证）；
$AE = CD$（已知）。
根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle CAD$。
2. （2）求$\angle BPQ$的度数：
因为$\triangle ABE\cong\triangle CAD$，所以$\angle ABE=\angle CAD$。
根据三角形外角性质，$\angle BPQ=\angle ABE+\angle BAP$。
把$\angle ABE=\angle CAD$代入上式得$\angle BPQ=\angle CAD+\angle BAP$。
而$\angle CAD+\angle BAP=\angle BAC$，又因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle BPQ = 60^{\circ}$。
综上，（1）已证明$\triangle ABE\cong\triangle CAD$；（2）$\angle BPQ$的度数为$60^{\circ}$。

11. (推理能力)如图，在等边三角形$ABC$中，点$M$为$AB$边上任意一点，延长$BC$至点$N$，使$CN = AM$，连结$MN$交$AC$于点$P$，过点$M$作$MH \perp AC$，垂足为点$H$。
(1)求证：$MP = NP$；
(2)若$AB = a$，求线段$PH$的长(结果用含$a$的代数式表示)。

答案： 1. （1）证明：
过点$M$作$MQ// BC$交$AC$于点$Q$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle B = \angle ACB=60^{\circ}$。
由于$MQ// BC$，则$\angle AMQ=\angle B = 60^{\circ}$，$\angle AQM=\angle ACB = 60^{\circ}$。
所以$\triangle AMQ$是等边三角形，$AM = MQ$。
又因为$AM = CN$，所以$MQ = CN$。
因为$MQ// BC$，所以$\angle QMP=\angle N$，$\angle MQP=\angle NCP$。
在$\triangle MQP$和$\triangle NCP$中：
$\begin{cases}\angle QMP=\angle N\\\angle MQP=\angle NCP\\MQ = CN\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle MQP\cong\triangle NCP$。
所以$MP = NP$。
2. （2）
因为$\triangle AMQ$是等边三角形，$MH\perp AQ$，根据等边三角形三线合一的性质，$AH = HQ$。
由$\triangle MQP\cong\triangle NCP$，可得$QP = CP$。
所以$PH=HQ + QP=\frac{1}{2}(AQ + QC)$。
因为$AQ + QC=AC$，且$AB = AC=a$。
所以$PH=\frac{1}{2}a$。
综上，（1）已证$MP = NP$；（2）$PH$的长为$\boldsymbol{\frac{1}{2}a}$。