《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

7. 先阅读材料，再解答下列问题.
分解因式：$(x + y)^{2}+2(x + y)+1$.
解：将“$x + y$”看成整体，令$x + y = A$，则原式$=A^{2}+2A + 1=(A + 1)^{2}$.
再将“$A$”还原，得原式$=(x + y + 1)^{2}$.
上述解题用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请你解答下列问题：
(1)分解因式：$1 + 2(x - y)+(x - y)^{2}=$$(x - y + 1)^{2}$；
(2)分解因式：$(x^{2}-6x)(x^{2}-6x + 18)+81$；
(3)说明：若$n$为正整数，则式子$(n + 1)·(n + 2)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某一个整数的平方.

答案：
(1)将“$x - y$”看成整体，令$x - y = A$，则原式$=A^{2}+2A + 1=(A + 1)^{2}$，再将“$A$”还原，得原式$=(x - y + 1)^{2}$

(2)将“$x^{2}-6x$”看成整体，令$x^{2}-6x = A$，则原式$=A(A + 18)+81=A^{2}+18A + 81=(A + 9)^{2}$，再将“$A$”还原，得原式$=(x^{2}-6x + 9)^{2}=(x - 3)^{4}$

(3)$(n + 1)(n + 2)(n^{2}+3n)+1=(n^{2}+3n)(n + 1)(n + 2)+1=(n^{2}+3n)(n^{2}+3n + 2)+1$，令$n^{2}+3n = A$，则原式$=A(A + 2)+1=A^{2}+2A + 1=(A + 1)^{2}=(n^{2}+3n + 1)^{2}$，因为$n$为正整数，所以$n^{2}+3n + 1$是整数，即式子的值一定是某一个整数的平方。略

8. 先阅读材料，再解答下列问题.
把$x^{4}+4$分解因式.分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19 世纪的法国数学家索菲·热尔曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和$(x^{2})^{2}+2^{2}$的形式，要使用公式就必须添一项$4x^{2}$，随即将此项$4x^{2}$减去，即可得$x^{4}+4=x^{4}+4x^{2}+4 - 4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2x + 2)(x^{2}-2x + 2)$.
请你依照索菲·热尔曼的做法，将下列多项式分解因式.
(1)$x^{4}+64$；
(2)$x^{4}+4y^{4}$；
(3)$x^{2}-4ax - b^{2}-4ab$.

答案： $8. (1)(x^{2} + 4x + 8)(x^{2} - 4x + 8)(2)(x^{2} + 2y^{2} + 2xy)(x^{2} + 2y^{2} - 2xy)(3)(x + b)(x - 4a - b)$