《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

6. (1)若$4^{x}= m$,$4^{y}= n$,求$4^{3x - 2y}$；
(2)已知$Ax^{2}\cdot (-3x^{2}y^{3})= -12x^{6}y^{5}$,求单项式$A$。

答案： $(1)$
解：根据同底数幂的运算法则：$a^{m-n}=\frac{a^{m}}{a^{n}}$，$(a^{m})^{n}=a^{mn}$。
已知$4^{x}=m$，$4^{y}=n$，则：
$4^{3x}=(4^{x})^{3}=m^{3}$；
$4^{2y}=(4^{y})^{2}=n^{2}$。
所以$4^{3x - 2y}=\frac{4^{3x}}{4^{2y}}=\frac{m^{3}}{n^{2}}$。
$(2)$
解：已知$Ax^{2}\cdot (-3x^{2}y^{3})=-12x^{6}y^{5}$，根据单项式乘法法则$a× b× c=(a× b)× c$，$(a^{m}× a^{n}=a^{m + n})$，则$A=\frac{-12x^{6}y^{5}}{-3x^{2}y^{3}}$。
根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}$，可得：
$A = \frac{-12}{-3}× x^{6 - 2}× y^{5 - 3}=4x^{4}y^{2}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{m^{3}}{n^{2}}}$；$(2)$$\boldsymbol{4x^{4}y^{2}}$。

7. 已知$3a^{m - n}÷ 4a= \frac{3}{4}$,且$2m + n = 2$,求$3m - 4n$。

答案： $\because 3a^{m-n} ÷ 4a=\frac{3}{4},\therefore m-n-1=0$. 又$\because 2m+n=2,\therefore m=1,n=0.\therefore 3m-4n=3$.

8. 先化简,再求值：$[6xy^{2}× (-2xy)^{2}-24x^{5}y^{6}÷ (-2xy)^{2}]÷ (-3xy^{2})^{2}$,其中$x = -2$,$y = 2023$。

答案： 原式$=2x$, 当$x=-2$时,原式$=-4$.