《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

9. 分解因式:
(1)$a^{2}+2a + 1$; (2)$x^{2}+36 + 12x$; (3)$4x^{2}+20x + 25$;
(4)$ax^{2}-4ax + 4a$; (5)$xy^{3}-2x^{2}y^{2}+x^{3}y$; (6)$(x + y)^{2}+6(x + y)+9$.

答案： 1. （1）
解：$a^{2}+2a + 1$，根据完全平方公式$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，这里$m = a$，$n = 1$，则$a^{2}+2a + 1=(a + 1)^{2}$。
2. （2）
解：$x^{2}+36 + 12x=x^{2}+12x + 36$，根据完全平方公式$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，这里$m = x$，$n = 6$，则$x^{2}+12x + 36=(x + 6)^{2}$。
3. （3）
解：$4x^{2}+20x + 25=(2x)^{2}+2×2x×5 + 5^{2}$，根据完全平方公式$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，这里$m = 2x$，$n = 5$，则$4x^{2}+20x + 25=(2x + 5)^{2}$。
4. （4）
解：$ax^{2}-4ax + 4a=a(x^{2}-4x + 4)$，对于$x^{2}-4x + 4$，根据完全平方公式$m^{2}-2mn + n^{2}=(m - n)^{2}$，这里$m = x$，$n = 2$，所以$ax^{2}-4ax + 4a=a(x - 2)^{2}$。
5. （5）
解：$xy^{3}-2x^{2}y^{2}+x^{3}y=xy(y^{2}-2xy + x^{2})$，根据完全平方公式$m^{2}-2mn + n^{2}=(m - n)^{2}$，这里$m = y$，$n = x$，则$xy^{3}-2x^{2}y^{2}+x^{3}y=xy(y - x)^{2}$。
6. （6）
解：$(x + y)^{2}+6(x + y)+9$，把$(x + y)$看成一个整体，设$m=x + y$，则原式$=m^{2}+6m + 9$，根据完全平方公式$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，这里$m=m$，$n = 3$，所以$(x + y)^{2}+6(x + y)+9=(x + y+3)^{2}$。
综上，答案依次为：（1）$(a + 1)^{2}$；（2）$(x + 6)^{2}$；（3）$(2x + 5)^{2}$；（4）$a(x - 2)^{2}$；（5）$xy(y - x)^{2}$；（6）$(x + y + 3)^{2}$。

10. 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4$进行因式分解的过程.
解:设$x^{2}-4x = y$,原式$=(y + 2)(y + 6)+4$(第一步)$=y^{2}+8y + 16$(第二步)$=(y + 4)^{2}$(第三步)$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$(第四步).
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (C)
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底? 不彻底(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果:$(x-2)^{4}$;
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x + 2)+1$进行因式分解.
设$x^{2}+2x=y$,原式$=y(y+2)+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}=(x^{2}+2x+1)^{2}=[(x+1)^{2}]^{2}=(x+1)^{4}.$

答案： （1）C （2）不彻底 $(x-2)^{4}$ （3）设$x^{2}+2x=y$,原式$=y(y+2)+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}=(x^{2}+2x+1)^{2}=[(x+1)^{2}]^{2}=(x+1)^{4}.$

1. 下列各式能用完全平方式进行分解因式的是 (D)
A.$x^{2}+1$
B.$x^{2}+2x - 1$
C.$x^{2}-x + 1$
D.$x^{2}+4x + 4$

答案： D

2. 下列各式中,是完全平方式的是 (B)
A.$9x^{2}-9x - 1$
B.$-6y + 9y^{2}+1$
C.$1-6x - 9y^{2}$
D.$9y^{2}-3y - 1$

答案： B

3. 若$\triangle ABC的三边a,b,c满足(a - b)(b^{2}-2bc + c^{2})= 0$,则$\triangle ABC$一定是 (A)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.锐角三角形

答案： A

4. 已知$a + b = 1$,$ab= -6$,则$a^{3}b-2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为 (D)
A.57
B.120
C.-39
D.-150

答案： D

5. 若$x$为任意实数时,二次三项式$x^{2}-6x + c$的值都不小于0,则常数$c$满足的条件是(B)
A.$c\geqslant0$
B.$c\geqslant9$
C.$c＞0$
D.$c＞9$

答案： B