《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,$D$ 是边 $AB$ 上一点,以 $CD$ 为边作等边三角形 $EDC$,使点 $E$,$A$ 在直线 $DC$ 的同侧,连接 $AE$. 求证：$AE// BC$.

答案：
∵△ABC和△EDC是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°,BC=AC,DC=EC.
∴∠BCA−∠ACD=∠DCE−∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中, $\left\{\begin{array}{l} BC=AC,\\ ∠BCD=∠ACE,\\ DC=EC,\end{array}\right. $
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠DBC=∠EAC.又
∵∠DBC=∠ACB=60°,
∴∠ACB=∠EAC.
∴AE//BC.

6. 已知 $A(-10,0)$,以 $OA$ 为边在第二象限作等边三角形 $AOB$.
(1)求点 $B$ 的横坐标.
(2)如图,$M$,$N$ 分别为边 $OB$,$OA$ 上的动点,以 $MN$ 为边在 $x$ 轴上方作等边三角形 $MNE$,连接 $OE$. 当$\angle EMO = 45^{\circ}$ 时,求$\angle MEO$ 的度数.

答案：

(1)点B的横坐标为−5.
(2)如图，过点M作MF//AB交OA于点F,

∵MF//AB,
∴∠MFO=∠BAO=∠AOB=60°.
∴△MOF是等边三角形.
∴∠FMO=60°,MF=MO.
∵△MNE是等边三角形，
∴∠NME=60°,MN=ME.
∴∠FMN+∠NMO=∠NMO+∠OME=60°.
∴∠FMN=∠OME.在△MFN和△MOE中, $\left\{\begin{array}{l} MF=MO,\\ ∠FMN=∠OME,\\ MN=ME,\end{array}\right. $
∴△MFN≌△MOE(SAS).
∴∠MFN=∠MOE=60°.
∵∠EMO=45°,
∴∠MEO=180°−∠MOE−∠EMO=180°−60°−45°=75°.