《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 如图,已知 $ D $, $ E $, $ F $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的三边上的点, $ CE = BF $, 且 $ \triangle DCE $ 的面积与 $ \triangle DBF $ 的面积相等. 求证: $ AD $ 平分 $ \angle BAC $.

答案： 如图,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等,
∴$\frac{1}{2}BF\cdot DM=\frac{1}{2}CE\cdot DN$.
∵CE=BF,
∴DM=DN.
∴AD平分∠BAC.

6. 如图,在 $ \angle AOB $ 的两边 $ OA $, $ OB $ 上分别取点 $ M $, $ N $, 连接 $ MN $. 若 $ MP $ 平分 $ \angle AMN $, $ NP $ 平分 $ \angle MNB $.
(1) 求证: $ OP $ 平分 $ \angle AOB $;
(2) 若 $ MN = 8 $, 且 $ \triangle PMN $ 与 $ \triangle OMN $ 的面积分别是 $ 16 $ 和 $ 24 $, 求线段 $ OM $ 与 $ ON $ 的长度之和.

答案：
(1)如图,过点P作PC⊥OA,垂足为C,过点P作PD⊥MN,垂足为D,过点P作PE⊥OB,垂足为E,
∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,
∴PC=PD.
∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,
∴PD=PE.
∴PC=PE.
∴OP平分∠AOB.
(2)
∵△PMN的面积是16,MN=8,
∴$\frac{1}{2}MN\cdot PD=16$.
∴$\frac{1}{2}×8\cdot PD=16$.
∴PD=4.
∴PD=PC=PE=4.
∵△OMN的面积是24,
∴四边形MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+24=40.
∴△POM的面积+△PON的面积=40.
∴$\frac{1}{2}OM\cdot PC+\frac{1}{2}ON\cdot PE=40$.
∴$\frac{1}{2}OM\cdot 4+\frac{1}{2}ON\cdot 4=40$.
∴OM+ON=20.
∴线段OM与ON的长度之和为20.