《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

7. 已知 $x = 1$ 时,分式 $\frac{x + 2b}{x - a}$ 无意义；$x = 4$ 时,分式的值为 $0$,求 $a + b$ 的值。

答案： $-1$

8. 仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当 $x$ 取何值时,分式 $\frac{1 - x}{2x - 1}$ 的值为正数？
解：根据题意得 $\frac{1 - x}{2x - 1}＞0$,则有① $\begin{cases}1 - x＞0,\\2x - 1＞0\end{cases} $ 或② $\begin{cases}1 - x＜0,\\2x - 1＜0,\end{cases} $
解不等式组①,得 $\frac{1}{2}＜x＜1$,解不等式组②,得不等式组无解,故 $\frac{1}{2}＜x＜1$。
所以当 $\frac{1}{2}＜x＜1$ 时,分式 $\frac{1 - x}{2x - 1}$ 的值为正数。
请你解答问题：当 $x$ 取何值时,分式 $\frac{x - 3}{x^{3}-2x^{2}+x}$ 的值为负数？

答案： $\because x^{3}-2x^{2}+x=x(x^{2}-2x+1)=x(x-1)^{2}$，$\therefore \frac{x-3}{x^{3}-2x^{2}+x}=\frac{x-3}{x(x-1)^{2}}$，由题意，得$\frac{x-3}{x(x-1)^{2}}＜0$，则有①$\left\{\begin{array}{l} x-3＜0,\\ x＞0,\\ x-1\neq 0\end{array}\right. $或②$\left\{\begin{array}{l} x-3＞0,\\ x＜0,\\ x-1\neq 0,\end{array}\right. $解不等式组①，得$0＜x＜3$，且$x\neq 1$，解不等式组②，得不等式组无解，故$0＜x＜3$，且$x\neq 1$，所以当$0＜x＜3$且$x\neq 1$时，分式$\frac{x-3}{x^{3}-2x^{2}+x}$的值为负数.

9. 求证：无论实数 $x$ 取何值,分式 $\frac{x^{2}-3x + 2}{x^{2}-4x + 5}$ 一定有意义。

答案： $\because x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1\neq 0$，即分式的分母不为0，$\therefore$分式$\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4x+5}$一定有意义.