《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

4. 如图,$AD$ 是$\triangle ABC$ 的角平分线,点 $E$ 在 $AB$ 上,且 $AE = AC$,$EC$ 交 $AD$ 于点 $O$. $EF// BC$,交 $AC$ 于点 $F$. 求证：$EC$ 平分$\angle DEF$.

答案：
∵AE=AC,AD平分∠BAC,
∴AD为EC的垂直平分线.
∴DE=DC.
∴∠DEC=∠DCE(等边对等角).又
∵EF//BC,
∴∠FEC=∠ECD.
∴∠FEC=∠DEC.
∴EC平分∠DEF.

5. 如图,在$\triangle ABC$ 中,$AB = 2AC$,$AD$ 平分$\angle BAC$,$AD = BD$. 求证：$CD\perp AC$.

答案：
如图,过点D作DH⊥AB于点H.

∵AD=BD,
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=AC(三线合一).又
∵AD平分∠BAC，
∴∠HAD=∠CAD.
∴△AHD≌△ACD(SAS).
∴∠AHD=∠ACD=90°,
∴CD⊥AC.

6. 如图,点 $D$,$E$ 分别在 $BA$,$AC$ 的延长线上,且 $AB = AC$,$AD = AE$. 求证：$DE\perp BC$.

答案：
如图，过点A作AM⊥BC于点M.

∵AD=AE,
∴∠D=∠E.
∵AB=AC,
∴∠BAC=2∠BAM=2∠D.
∴∠BAM=∠D.
∴DE//AM.
∴DE⊥BC.