《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

1. 角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号表示:如图,∵ $ PC \perp OA $ 于点 $ C $, $ PD \perp OB $ 于点 $ D $, $ PC = PD $,
∴OP平分∠AOB.

答案： 距离相等的　OP平分∠AOB

2. 三角形的角平分线的性质:三角形的三条角平分线相交于一点,这一点到三角形三边的距离相等.

答案： 相等

1. 如图, $ \angle AOB = 70^{\circ} $, $ QC \perp OA $ 于点 $ C $, $ QD \perp OB $ 于点 $ D $, 若 $ QC = QD $, 则 $ \angle AOQ = $35°.

答案： 35°

2. 如图,已知在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADE $ 中, $ AB = AC $, $ AD = AE $, $ \angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ} $, $ BD $, $ CE $ 交于点 $ F $, 连接 $ AF $. 下列结论: ① $ BD = CE $; ② $ BF \perp CF $; ③ $ AF $ 平分 $ \angle BAD $; ④ $ \angle AFE = 45^{\circ} $. 其中正确的是①②④(填序号).

答案： ①②④

3. 如图,在正方形网格中,到 $ \angle AOB $ 两边距离相等的可能是(C)

A.点 $ M $
B.点 $ N $
C.点 $ P $
D.点 $ Q $

答案： C

4. 如图,两条交叉的公路 $ OA $, $ OB $ 在 $ O $ 处相交,一条铁路 $ MN $ 穿过公路 $ OA $, 在铁路 $ MN $ 上的何处建一个货物中转站,能使这个中转站到两条交叉公路 $ OA $, $ OB $ 的距离相等? 请在图上画出这个货物中转站的位置.

答案：

5. 如图,已知 $ BP $, $ CP $ 是 $ \triangle ABC $ 的外角平分线. 求证:点 $ P $ 一定在 $ \angle BAC $ 的平分线上.

答案： 解：过点$P$作$PD\perp AM$于点$D$，$PE\perp BC$于点$E$，$PF\perp AN$于点$F$。
因为$BP$是$\triangle ABC$的外角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PE = PF$。
同理，因为$CP$是$\triangle ABC$的外角平分线，所以$PD = PE$。
那么$PD = PF$。
再根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点$P$一定在$\angle BAC$的平分线上。