《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 如图,在梯形 ABCD 中$, AB = DC = 12 cm , BC = 15 cm , \angle B = \angle C , E $为边 AB 上一点,且 AE = 5 cm 。点 P 在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动,同时点 Q 在线段 CD 上由点 C 向点 D 运动。设点 P 运动的时间为 t s ,请回答下面的问题：
(1)线段 BP , CP 的长可用含 t 的式子分别表示为 BP = 3t cm, CP = _________（15 - 3t）cm；(2)若某一时刻$ \triangle BPE $与$ \triangle CQP $全等,求此时 t 的值和线段 BP 的长。

答案： （1）3t cm （15 - 3t）cm （2）由题意，得BP=3t cm，BE=AB - AE=12 - 5=7(cm).① 若△BPE≌△CQP，则BE=CP=7 cm，即15 - 3t=7，解得t=$\frac{8}{3}$.
∴BP=3t=8 cm；② 若△BPE≌△CPQ，则BP=CP，即3t=15 - 3t，解得t=$\frac{5}{2}$.
∴BP=3t=$\frac{15}{2}$ cm.综上所述，t的值为$\frac{8}{3}$或$\frac{5}{2}$，线段BP的长为8 cm或$\frac{15}{2}$ cm.

6. 如图,$ DE \perp AB 于点 E $,$ DF \perp AC 于点 F $,$ BD = CD $,$ BE = CF $。
(1)求证：$ \triangle AED \cong \triangle AFD $；
(2)已知$ AC = 18 $,$ AB = 12 $,求$ BE $的长。

答案： （1）
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=∠DFA=90°.在Rt△EBD和Rt△FCD中，{BD=CD，BE=CF，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL).
∴DE=DF.在Rt△AED和Rt△AFD中，{AD=AD，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL). （2）
∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF.
∵AC=AF+FC，
∴AC=AB+BE+FC，
∴18=12+BE+CF.
∵BE=CF.
∴18=12+2BE，
∴BE=3.

7. 如图,已知$ \angle 1 = \angle 2 $,$ AB = AD + BC $,$ E 是 CD $的中点。求证：$ BE 是 \angle ABC $的平分线。

答案：
如图，在AB上取一点F，使AD=AF，连接EF，
∵∠1=∠2，AE=AE，AD=AF，
∴△ADE≌△AFE(SAS).
∴DE=EF.
∵E是CD的中点，
∴DE=CE.
∴CE=EF.又
∵AB=AD+BC，
∴BC=BF.
∴△BCE≌△BFE(SSS).
∴∠3=∠4，即BE是∠ABC的平分线.