《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AM是边BC$上的中线. 求证：$AM\lt\frac{1}{2}(AB + AC)$.

答案： 提示：延长$AM$到点$E$，使得$ME=AM$，连接$BE$，由“边角边”可证$\triangle BEM\cong$$\triangle CAM$.$\therefore BE=AC$.在$\triangle ABE$中，$AB+BE＞AE$，即$AB+AC＞2AM$.$\therefore AM＜\frac{1}{2}(AB+AC)$.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE\perp AC于点D$,$BE = AC$,$\angle ACF= \angle ABE$,$CF = AB$,连接$AF$. 线段$AE与AF$有怎样的关系？请写出你的猜想,并说明理由.

答案： $AE=AF$，$AE\perp AF$，理由如下：在$\triangle ABE$和$\triangle FCA$中，$\begin{cases} BE=CA, \\ \angle ABE=\angle FCA, \\ AB=FC, \end{cases}$$\therefore\triangle ABE\cong\triangle FCA$$(SAS)$.$\therefore AE=FA$，$\angle E=\angle CAF$.$\because BE\perp AC$，$\therefore\angle ADE=90^{\circ}$.$\therefore\angle DAE+\angle E=90^{\circ}$.$\therefore\angle DAE+\angle CAF=90^{\circ}$.$\therefore\angle EAF=90^{\circ}$.$\therefore AE\perp AF$.