《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 如图,AD,BC 相交于点 O,AD= BC,∠C= ∠D= 90°.
(1) 求证:△ACB≌△BDA;
(2) 若∠ABC= 35°,则∠CAO= 20°.

(1)证明：因为∠C=∠D=90°，所以△ACB和△BDA都是直角三角形。在Rt△ACB和Rt△BDA中，BC=AD，AB=BA，所以Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）。

答案：
(1)提示:AB=BA,BC=AD,使用“HL”证明.
(2)20°

1. 如图,已知 ∠A = ∠D = 90°,要使用“HL”证明 Rt△ABC ≌ Rt△DCB,应添加条件AB=DC(或AC=DB);要使用“AAS”证明△ABC≌△DCB,应添加条件∠ACB=∠CBD(或∠ABC=∠BCD).

答案： AB=DC(或AC=DB) ∠ACB=∠CBD(或∠ABC=∠BCD)

2. 如图,D 为 Rt△ABC 中斜边 BC 的中点,过点 D 作 BC 的垂线,交 AC 于点 E,且 AE= DE,若 BC= 12 cm,则 AB 的长为6cm.

答案： 6

3. 如图,在△ABC 中,∠A= 90°,点 D 在边 AC 上,过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,若 AD= DE,且∠BDE= 2∠ABC,则∠CDE 的度数是36°.

答案： 36°

4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 10,BC= 5,线段 PQ= AB,P,Q 两点分别在线段 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AO 上运动,当 AP 的长为5或10时,△ABC 和△PQA 全等.

答案： 5或10

5. 如图,AB= AC,点 D,E 分别在 AC,AB 上,AG⊥BD 于点 G,AF⊥CE 于点 F,且 AG= AF.求证:BD= CE.

答案：
∵AG⊥BD,AF⊥CE,
∴∠AGB=∠AFC=90°.在Rt△AGB和Rt△AFC中,{AB=AC,AG=AF,
∴Rt△AGB≌Rt△AFC(HL).
∴∠B=∠C.在△ABD和△ACE中,{∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠B=∠C,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE.