《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

3. 如图,AB= AC,BD= CD,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F.求证:DE= DF.

答案： 连接AD.在△ABD和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ BD=CD,\\ AD=AD,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.

4. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,若AB= 10,BC= 8,AC= 6,求BE,AE的长和△AED的周长.

答案： BE=8，AE=2，△AED的周长为8.

5. 如图,在△ABC中,∠ABC= 60°,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点O.求证:OE= OF.

答案：
如图，过点O作OH⊥BC于点H，OG⊥AB于点G，OK⊥AC于点K.
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=120°.
∵∠BAC，∠BCA的平分线相交于点O，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=60°.
∴∠AOC=120°.
∴∠EOF=∠AOC=120°.
∵OH⊥BC，OG⊥AB，
∴∠B+∠GOH=180°.
∴∠GOH=120°.
∴∠FOG=∠EOH.
∵∠BAC，∠ACB的平分线相交于点O，
∴OK=OH，OK=OG.
∴OH=OG.在△FOG和△EOH中，$\left\{\begin{array}{l} OG=OH,\\ ∠FOG=∠EOH,\\ ∠FGO=∠OHE=90°, \end{array}\right.$
∴△FOG≌△EOH（ASA）.
∴OE=OF.