《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 如图,在$\triangle ABC$ 中,$DC\perp AC$,$\angle 1= \angle 2$,$DA = DB$. 求证：$AB = 2AC$.

答案：
如图,过点D 作DE⊥AB于点E.
∵DA=DB,
∴AE=BE.又
∵∠1=∠2,∠DEA=∠DCA=90°,AD=AD,
∴△AED≌△ACD(AAS).
∴AC=AE.
∴AB=AE+BE=2AC.

1. 如图,在$\triangle MNP$ 中,$\angle P = 60^{\circ}$,$MN = NP$,$MQ\perp PN$,垂足为 $Q$,延长 $MN$ 至点 $G$,使 $NG = NQ$. 若$\triangle MNP$ 的周长为 $12$,$MQ = a$,则$\triangle MGQ$ 的周长为(D)

A.$8 + 2a$
B.$8 + a$
C.$6 + a$
D.$6 + 2a$

答案： D

2. 如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,点 $B$,$C$,$D$,$E$ 在同一条直线上,若 $CG = CD$,$DF = DE$,则$\angle E= $15°.

答案： 15°

3. 如图,已知$\triangle ABC$ 和$\triangle ECD$ 都是等边三角形,且点 $B$,$C$,$D$ 在同一条直线上,连接 $BE$,与 $AD$ 相交于点 $O$. $M$,$N$ 分别是线段 $BE$,$AD$ 上的两点,且 $BM= \frac{1}{3}BE$,$AN= \frac{1}{3}AD$,则下列结论：① $BE = AD$；② $\triangle BCM\cong\triangle ACN$；③ $\angle BOD = 100^{\circ}$；④ $\triangle CNM$ 是等边三角形；⑤ $BC = ND$. 其中正确的结论是①②④(填序号).

答案： ①②④

4. 如图,$D$ 为等边三角形 $ABC$ 的边 $AC$ 上的一点,$\angle 1= \angle 2$,$BD = CE$. 求证：$\triangle DAE$ 为等边三角形.

答案：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=60°.又
∵∠1=∠2,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD=AE,∠CAE=∠BAD=60°.
∴△DAE为等边三角形.