《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

12. (1)已知$a - b = 1$,$a^{2} + b^{2} = 9$,求$ab$的值；
(2)已知$a和b$互为倒数,$a + b = 4$,求$(a - b)^{2}$的值.

答案： $(1)$求$ab$的值
解：
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$。
已知$a - b = 1$，$a^{2}+b^{2}=9$，将$a - b = 1$两边同时平方可得$(a - b)^2 = 1^2=1$，即$a^2 - 2ab + b^2=1$。
把$a^{2}+b^{2}=9$代入$a^2 - 2ab + b^2=1$中，得到$9-2ab = 1$。
移项可得$-2ab=1 - 9=-8$，
两边同时除以$-2$，解得$ab = 4$。
$(2)$求$(a - b)^2$的值
解：
因为$a$和$b$互为倒数，所以$ab = 1$。
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2=(a + b)^2-4ab$。
已知$a + b = 4$，$ab = 1$，将其代入$(a + b)^2-4ab$可得：
$(a - b)^2=4^2-4×1$
$=16 - 4$
$=12$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{4}$；$(2)$$\boldsymbol{12}$。

13. 若$a^{2} + b^{2} + 4a - 6b + 13 = 0$,试求$a^{b}$的值.

答案： $a^{2}+b^{2}+4a-6b+13=(a^{2}+4a+4)+(b^{2}-6b+9)=(a+2)^{2}+(b-3)^{2}=0$,$\therefore a=-2$,$b=3$.$a^{b}=-8$.

14. 如图,在六边形$ABCDEF$中,对角线$BE和CF相交于点G$,当四边形$ABGF和四边形CDEG$都为正方形时,若$BE = 8$,正方形$ABGF和正方形CDEG的面积和为36$,求阴影部分的面积.

答案： 设$BG=a$,$EG=b$,由题意,得$a+b=8$,$a^{2}+b^{2}=36$,$\therefore (a+b)^{2}=64$,解得$ab=14$,$\therefore S_{阴影}=2×\frac{1}{2}ab=ab=14$.

15. 求证：$a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1$是完全平方式.

答案： $\because$原式$=(a^{2}+3a)(a^{2}+3a+2)+1=(a^{2}+3a)^{2}+2(a^{2}+3a)+1=(a^{2}+3a+1)^{2}$,$\therefore a(a+1)(a+2)(a+3)+1$是完全平方式.

16. 已知实数$a$,$b$,$x$,$y满足ax + by = 3$,$ay - bx = 5$,求$(a^{2} + b^{2})(x^{2} + y^{2})$的值.

答案： 由题意,得$(ax+by)^{2}=9$,$(ay-bx)^{2}=25$,展开后相加,得$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=34$,原式$=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=34$.