《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

25. 已知代数式$(ax - 8)(x - b)+4x^{2}的值与x$的取值无关.
(1) 求$a$,$b$的值.
(2) 当$x$,$y$为何值时,$x^{2}+y^{2}+ax + by + 1$有最小值？并求出最小值.

答案： （1）原式$=ax^2-abx-8x+8b+4x^2=(a+4)x^2-(8+ab)x+8b$,$\because$此代数式的值与$x$的取值无关，$\therefore a+4=0$,$8+ab=0$,解得$a=-4$,$b=2$. （2）$\because a=-4$,$b=2$,$\therefore x^2+y^2+ax+by+1=x^2+y^2-4x+2y+1=(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)-4=(x-2)^2+(y+1)^2-4$,故当$x=2$,$y=-1$时，此代数式有最小值为$-4$.

26. 数学活动课上,张老师用图①中的$1张边长为a的正方形A$纸片、$1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C$纸片,拼成了如图②中的大正方形纸片。观察图形并解答下列问题。
(1) 由图①和图②可以得到的等式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(用含$a$,$b$的代数式表示),并验证你得到的等式.
(2) 嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为$(2a + b)(a + 2b)$的大长方形,求需要$A$,$B$,$C$三种纸片各多少张.
(3) 如图③,已知$C为线段AB$上的动点,分别以$AC$,$BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG$。若$AB = 6$,且两正方形的面积之和$S_{1}+S_{2}= 20$,利用(1)中得到的结论求图中阴影部分的面积.

答案： （1）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 验证：$(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$. （2）$\because(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2$,$\therefore$需要A，B两种纸片各2张，C种纸片5张. （3）设$AC=a$,$BC=b$,则$a+b=6$,$\because S_1+S_2=20$,$\therefore a^2+b^2=20$.$\because(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$.$\therefore20=6^2-2ab$.$\therefore ab=8$.$\therefore$阴影部分的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8=4$.