《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

1. 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积. 用字母可表示为$a^{2}-b^{2}=$$(a+b)(a-b)$.

答案： 和 差 $(a+b)(a-b)$

2. 平方差公式的特征：(1) 左边是二项式,两项都可写成平方的形式,且符号相反；(2) 右边是两个式子的和与这两个式子的差的积,且被减数是左边平方项为正的那个式子.

答案： （1）相反 （2）和 差

1. 分解因式：(1) $4x^{2}-9=$$(2x+3)(2x-3)$； (2) $-m^{2}+1=$$(1+m)(1-m)$； (3) $2m^{2}-8n^{2}=$$2(m+2n)(m-2n)$.

答案： （1）$(2x+3)(2x-3)$ （2）$(1+m)(1-m)$ （3）$2(m+2n)(m-2n)$

2. 一个长方形的面积是$a^{2}-b^{2}(a＞b)$,其中一边长为$a + b$,则另一边长为$a-b$.

答案： $a-b$

3. (1) $25a^{2}-$$9b^{2}$$=(5a + 3b)(5a - 3b)$； (2) $-4a^{2}$$+b^{2}= (-2a + b)(b + 2a)$.

答案： （1）$9b^{2}$ （2）$-4a^{2}$

4. 分解因式：$x^{2}(a + b)-y^{2}(a + b)= $$(a+b)(x+y)(x-y)$.

答案： $(a+b)(x+y)(x-y)$

5. 有下列式子：①$x^{2}+y^{2}$；②$x^{2}-y^{2}$；③$-x^{2}+y^{2}$；④$-x^{2}-y^{2}$；⑤$1 - a^{2}b^{2}$；⑥$x^{2}+4$. 其中能用平方差公式分解因式的有(B)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： B

6. 下列各式分解因式正确的是(D)
A.$16 - 4x^{2}= (4 + 2x)(2x - 4)$
B.$m^{2}-16m= m(m + 4)(m - 4)$
C.$x^{2}-9b^{2}= (x + 9b)(x - 9b)$
D.$1 - 25a^{2}= (1 + 5a)(1 - 5a)$

答案： D

7. 分解因式：
(1) $16x^{2}y^{2}-1$；
(2) $-25x^{2}+49y^{2}$；
(3) $m^{2}(x - y)+n^{2}(y - x)$；
(4) $3(a + b)^{2}-27c^{2}$；
(5) $a^{5}-9a^{3}$；
(6) $16(x + y)^{2}-25(x - y)^{2}$.

答案： 1. （1）
解：
对于$16x^{2}y^{2}-1$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 4xy$，$b = 1$。
则$16x^{2}y^{2}-1=(4xy)^{2}-1^{2}=(4xy + 1)(4xy - 1)$。
2. （2）
解：
对于$-25x^{2}+49y^{2}$，可变形为$49y^{2}-25x^{2}$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 7y$，$b = 5x$。
则$-25x^{2}+49y^{2}=49y^{2}-25x^{2}=(7y)^{2}-(5x)^{2}=(7y + 5x)(7y - 5x)$。
3. （3）
解：
对于$m^{2}(x - y)+n^{2}(y - x)$，先将$n^{2}(y - x)$变形为$-n^{2}(x - y)$。
则原式$=m^{2}(x - y)-n^{2}(x - y)=(x - y)(m^{2}-n^{2})$。
再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = m$，$b = n$。
所以$(x - y)(m^{2}-n^{2})=(x - y)(m + n)(m - n)$。
4. （4）
解：
对于$3(a + b)^{2}-27c^{2}$，先提取公因式$3$，得到$3[(a + b)^{2}-9c^{2}]$。
而$(a + b)^{2}-9c^{2}$根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a=(a + b)$，$b = 3c$。
则$3[(a + b)^{2}-9c^{2}]=3[(a + b)^{2}-(3c)^{2}]=3(a + b + 3c)(a + b-3c)$。
5. （5）
解：
对于$a^{5}-9a^{3}$，先提取公因式$a^{3}$，得到$a^{3}(a^{2}-9)$。
再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = a$，$b = 3$。
所以$a^{5}-9a^{3}=a^{3}(a^{2}-9)=a^{3}(a + 3)(a - 3)$。
6. （6）
解：
对于$16(x + y)^{2}-25(x - y)^{2}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 4(x + y)$，$b = 5(x - y)$。
则$16(x + y)^{2}-25(x - y)^{2}=[4(x + y)]^{2}-[5(x - y)]^{2}$。
$=(4x + 4y + 5x - 5y)(4x + 4y-5x + 5y)$。
$=(9x - y)(9y - x)$。
综上，答案依次为：（1）$(4xy + 1)(4xy - 1)$；（2）$(7y + 5x)(7y - 5x)$；（3）$(x - y)(m + n)(m - n)$；（4）$3(a + b + 3c)(a + b-3c)$；（5）$a^{3}(a + 3)(a - 3)$；（6）$(9x - y)(9y - x)$。