《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 小明画出一个四边形ABCD,使AB= CD,AD= BC,他说：“我任意连接四边形的一条对角线都能得到两个全等三角形.”他说的话正确吗？为什么？

答案： 正确 提示:连接 AC 证明△ABC≌△CDA,连接 BD 证明△ABD≌△CDB.

6. 如图,AD= CB,E,F是AC上的两个动点,且DE= BF.
(1) 若点E,F运动至如图①所示的位置,且AF= CE,求证：△ADE≌△CBF.
(2) 若点E,F运动至如图②所示的位置,仍有AF= CE,则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3) 若点E,F不重合,则AD和CB平行吗？请说明理由.

答案：
(1)
∵AF=CE,
∴AF+EF=CE+EF,即 AE=CF.在△ADE 和△CBF 中,$\left\{\begin{array}{l} AD=CB,\\ DE=BF,\\ AE=CF,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(2) △ADE≌△CBF 成立,理由如下:
∵AF=CE,
∴AF - EF=CE - EF,即 AE=CF.在△ADE 和△CBF 中,$\left\{\begin{array}{l} AD=CB,\\ DE=BF,\\ AE=CF,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(3) AD 与 CB 不一定平行,理由如下:在△ADE 和△CBF中,仅有 AD=CB,DE=BF,不能判定△ADE 和△CBF 全等,即不能得出∠A=∠C,故 AD 与 CB 不一定平行.

7. 如图,利用尺规,在△ABC的边AC上方作∠CAE= ∠ACB,在射线AE上截取AD= BC,连接CD,并证明AB//CD(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法).

答案：
如图,CD 为所作.证明:在△ACD 和△CAB 中,$\left\{\begin{array}{l} AC=CA,\\ ∠CAE=∠ACB,\\ AD=CB,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△CAB(SAS).
∴∠ACD=∠CAB.
∴AB//CD.