《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

18. 小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”,继续探索,他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线,那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明.
(1)请根据以上命题和图形写出已知和求证：
已知：______
求证：______
(2)请证明以上命题.

答案：

(1)已知:如图,在$\triangle ABC$中, $AD$平分$\angle BAC$, $D$为$BC$的中点. 求证: $\triangle ABC$是等腰三角形.
(2)如图,过点$D$作$DE \perp AB$于点$E$, $DF \perp AC$于点$F$, $\because AD$平分$\angle BAC$, $DE \perp AB$, $DF \perp AC$, $\therefore DE = DF$. $\because D$是$BC$的中点, $\therefore BD = CD$. $\because \angle DEB = \angle DFC = 90^{\circ}$, 在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中, $\left\{\begin{array}{l} BD = CD, \\ DE = DF, \end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle BDE \cong Rt\triangle CDF(HL)$. $\therefore \angle B = \angle C$. $\therefore AB = AC$. $\therefore \triangle ABC$是等腰三角形.

19. 如图,$ \triangle ABC $ 是边长为 $ 12 cm $ 的等边三角形,动点 $ M $,$ N $ 同时从 $ A $,$ B $ 两点出发,分别沿 $ AB $,$ BC $ 方向匀速移动.
(1)若点 $ M $ 的运动速度是 $ 2 cm/s $,点 $ N $ 的运动速度是 $ 4 cm/s $,当点 $ N $ 到达点 $ C $ 时,$ M $,$ N $ 两点都停止运动,设运动时间为 $ t $(单位：$ s $),当 $ t = 2 $ 时,判断 $ \triangle BMN $ 的形状,并说明理由；
(2)当它们的速度都是 $ 2 cm/s $,且当点 $ M $ 到达点 $ B $ 时,$ M $,$ N $ 两点停止运动,设点 $ M $ 的运动时间为 $ t $(单位：$ s $),则当 $ t $ 为何值时,$ \triangle BMN $ 是直角三角形？

答案：
(1)$\triangle BMN$是等边三角形,理由如下:当$t = 2$时, $AM = 4\ cm$, $BN = 8\ cm$. $\because \triangle ABC$是边长为$12\ cm$的等边三角形, $\therefore BM = 12 - 4 = 8(cm)$, $\angle B = 60^{\circ}$. $\therefore BM = BN$. $\therefore \triangle BMN$是等边三角形.
(2)在$\triangle BMN$中, $BM = (12 - 2t)\ cm$, $BN = 2t\ cm$,
① 当$\angle BNM = 90^{\circ}$时, $\angle B = 60^{\circ}$, $\therefore \angle BMN = 30^{\circ}$. $\therefore BN = \frac{1}{2}BM$. $\therefore 2t = \frac{1}{2}(12 - 2t)$. $\therefore t = 2$;
② 当$\angle BMN = 90^{\circ}$时, $\angle B = 60^{\circ}$, $\therefore \angle BNM = 30^{\circ}$. $\therefore BM = \frac{1}{2}BN$. $\therefore 12 - 2t = \frac{1}{2} × 2t$. $\therefore t = 4$.
综上所述，当$t$的值为2或4时, $\triangle BMN$是直角三角形.

20. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $ 是边 $ BC $ 上一点,点 $ E $ 在 $ AD $ 的右侧,线段 $ AE = AD $,且 $ \angle DAE = \angle BAC = \alpha $.
(1)如图①,若 $ \alpha = 60^{\circ} $,连接 $ CE $,$ DE $,则 $ \angle ADE $ 的度数为$60^{\circ}$；$ BD $ 与 $ CE $ 的数量关系是$BD = CE$；
(2)如图②,若 $ \alpha = 90^{\circ} $,连接 $ CE $,$ BE $,试判断 $ \triangle BCE $ 的形状,并说明理由.

(2)$\triangle BCE$是直角三角形,理由如下: $\because \angle DAE = \angle BAC = 90^{\circ}$, $\therefore \angle DAE - \angle CAD = \angle BAC - \angle CAD$, 即$\angle BAD = \angle CAE$. 在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中, $\left\{\begin{array}{l} AB = AC, \\ \angle BAD = \angle CAE, \\ AD = AE, \end{array}\right.$ $\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACE(SAS)$. 由题意知$\triangle ABC$是等腰直角三角形, $\therefore \angle ACE = \angle ABD = 45^{\circ}$. $\therefore \angle BCE = \angle ACB + \angle ACE = 90^{\circ}$. $\therefore \triangle BCE$是直角三角形.

答案：
(1)$60^{\circ}$ $BD = CE$
(2)$\triangle BCE$是直角三角形,理由如下: $\because \angle DAE = \angle BAC = 90^{\circ}$, $\therefore \angle DAE - \angle CAD = \angle BAC - \angle CAD$, 即$\angle BAD = \angle CAE$. 在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中, $\left\{\begin{array}{l} AB = AC, \\ \angle BAD = \angle CAE, \\ AD = AE, \end{array}\right.$ $\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACE(SAS)$. 由题意知$\triangle ABC$是等腰直角三角形, $\therefore \angle ACE = \angle ABD = 45^{\circ}$. $\therefore \angle BCE = \angle ACB + \angle ACE = 90^{\circ}$. $\therefore \triangle BCE$是直角三角形.