《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

6. 分解因式:
(1)$a^{2}(x - y)-4(y - x)$; (2)$2ax^{2}+8axy + 8ay^{2}$;
(3)$4x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+xy^{3}$; (4)$4(x + 2)(x - 3)+25$.

答案： （1）$(a^{2}+4)(x-y)$ （2）$2a(x+2y)^{2}$ （3）$xy(2x+y)^{2}$ （4）$(2x-1)^{2}$

7. 若$x^{2}+y^{2}+2x - 8y + 17 = 0$,

求

$\frac{y}{x}$的值.

答案： $\because x^{2}+y^{2}+2x-8y+17=(x^{2}+2x+1)+(y^{2}-8y+16)=0$,即$(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=0,\therefore x=-1,y=4.\therefore \frac {y}{x}=-4$

8. 若$\vert m + 4\vert与n^{2}-2n + 1$互为相反数,把多项式$x^{2}+4y^{2}-mxy - n$分解因式.

答案： 由题意,得$m=-4,n=1$.原式$=x^{2}+4y^{2}+4xy-1=(x+2y)^{2}-1=(x+2y+1)(x+2y-1)$

9. 定义:若一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}$($a,b$都是正整数)的形式,则称这个数为“完美数”.
例如:因为$13 = 3^{2}+2^{2}$,所以13是“完美数”;
再如:因为$a^{2}+2ab + 2b^{2}= (a + b)^{2}+b^{2}$,所以$a^{2}+2ab + 2b^{2}$也是“完美数”.
(1)请直接写出一个小于10的“完美数”,这个“完美数”是2;
(2)判断53是(填“是”或“不是”)“完美数”;
(3)已知$M = x^{2}+4x + k$($x$是整数,$k$是常数),要使$M$为“完美数”,试求出符合条件的一个$k$值,并说明理由;
(4)如果数$m,n$都是“完美数”,$m\neq n$,试说明$mn$是“完美数”.

答案： （1）2 或 5 或 8(写一个即可) （2）是（3）$k=5$(答案不唯一),理由如下:$\because M=x^{2}+4x+k,\therefore M=x^{2}+4x+4+k-4=(x+2)^{2}+k-4,$则当$k-4$为完全平方数时,M 为"完美数",如当$k-4=1$时,解得$k=5$. （4）如果数$m,n$都是“完美数”,$m\neq n$,试说明$mn$是“完美数”.设$m=a^{2}+b^{2},n=c^{2}+d^{2},m≠n$,则有$mn=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+2abcd-2abcd=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2},\therefore mn$是"完美数".