《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

16. 如图,在$\triangle AOB$ 和$\triangle COD$ 中,$OA = OB$,$OC = OD$,$OA＜OC$,$\angle AOB= \angle COD = 36^{\circ}$。连接 $AC$,$BD$ 交于点 $M$,连接 $OM$。
(1)求$\angle AMB$ 的度数；
(2)$MO$ 是$\angle AMD$ 的平分线吗？请说明理由。

答案：
（1）
∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l} OA=OB,\\ ∠AOC=∠BOD,\\ OC=OD,\end{array}\right. $
∴△AOC≌△BOD（SAS）.
∴∠OAC=∠OBD.由三角形外角的性质得∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB=∠AOB=36°.
（2）MO是∠AMD的平分线.理由如下：如图，作OG⊥AM于点G，OH⊥DM于点H，

∵△AOC≌△BOD，
∴S△AOC=S△BOD，AC=BD.
∴OG=OH.
∴MO平分∠AMD.

17. 在$\triangle ABC$ 中,$D$ 是边 $BC$ 上的点(不与点 $B$,$C$ 重合),连接 $AD$。
(1)如图①,当 $D$ 是边 $BC$ 的中点时,$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}= $______；
(2)如图②,当 $AD$ 是$\angle BAC$ 的平分线时,若 $AB = m$,$AC = n$,求 $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}$ 的比值(用含 $m$,$n$ 的代数式表示)；
(3)如图③,$AD$ 平分$\angle BAC$,延长 $AD$ 到点 $E$,使得 $AD = DE$,连接 $BE$,若 $AC = 2$,$AB = 4$,$S_{\triangle BDE}= 6$,求 $S_{\triangle ABC}$ 的值。

答案：
（1）1:1
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF.
∵AB=m，AC=n，
∴S△ABD:S△ACD=($\frac{1}{2}$×AB×DE):($\frac{1}{2}$×AC×DF)=$\frac{m}{n}$.
（3）
∵AD=DE，
∴由
(1)知S△ABD:S△EBD=1:1.
∵S△BDE=6，
∴S△ABD=6.
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由
(2)知S△ABD:S△ACD=AB:AC=4:2=2:1.
∴S△ACD=3.
∴S△ABC=3 + 6=9.

18. 如图,$AE$ 与 $BD$ 相交于点 $C$,$AC = EC$,$BC = DC$,$AB = 8\ cm$,点 $P$ 从点 $A$ 出发,沿 $A\rightarrow B\rightarrow A$ 方向以 $2\ cm/s$ 的速度运动,点 $Q$ 从点 $D$ 出发,沿 $D\rightarrow E$ 方向以 $1\ cm/s$ 的速度运动,$P$,$Q$ 两点同时出发,当点 $P$ 到达点 $A$ 时,$P$,$Q$ 两点同时停止运动,设点 $P$ 的运动时间为 $t\ s$。
(1)求证：$AB// DE$；
(2)写出线段 $AP$ 的长(用含 $t$ 的式子表示)；
(3)连接 $PQ$,当线段 $PQ$ 经过点 $C$ 时,求 $t$ 的值。

答案： （1）在△ABC和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l} AC=EC,\\ ∠ACB=∠ECD,\\ BC=DC,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△EDC(SAS).
∴∠A=∠E.
∴AB//DE.
（2）当0＜t≤4时，AP=2t cm；当4＜t≤8时，BP=(2t - 8)cm，
∴AP=8 - (2t - 8)=(16 - 2t)cm.
（3）根据题意，得DQ=t cm，由
(1)得∠A=∠E，ED=AB=8 cm，EQ=(8 - t)cm.在△ACP和△ECQ中，$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠E,\\ AC=EC,\\ ∠ACP=∠ECQ,\end{array}\right. $
∴△ACP≌△ECQ(ASA).
∴AP=EQ.当0＜t≤4时，2t=8 - t，解得t=$\frac{8}{3}$；当4＜t≤8时，16 - 2t=8 - t，解得t=8.综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为$\frac{8}{3}$或8.