《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE \perp AC于点E$,$AF是\angle CAB$的平分线,交$BE于点F$,$\angle C = 78^{\circ}$,$\angle CBA = 38^{\circ}$,求$\angle AFB$的度数.
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答案：
∵∠C=78°,∠CBA=38°,
∴∠CAB=180°-∠C-∠CBA=180°-78°-38°=64°.
∵AF是∠CAB的平分线,
∴∠EAF=∠FAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=32°.
∵BE⊥AC,
∴∠AEF=90°.
∴∠AFB=∠EAF+∠AEF=32°+90°=122°.

8. 【课本再现】
如图①,$P是\triangle ABC$内一点,连接$PB$,$PC$.
求证：$\angle BPC ＞ \angle A$.
证明：如图②,延长$BP$,交$AC于点D$.
$\because \angle BPC是\triangle PCD$的一个外角(外角的定义),
$\therefore \angle BPC ＞ \angle PDC$(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
$\because \angle PDC是\triangle ABD$的一个外角(外角的定义),
$\therefore \angle PDC ＞ \angle A$(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
$\therefore \angle BPC ＞ \angle A$.
【知识迁移】
如图③,求证：
(1)$\angle FHG ＞ \angle E$；
(2)$\angle FHG = \angle E + \angle F + \angle G$；
【拓展延伸】
(3)如图④,五角星五个角的和为______.
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（1）延长GH交EF于点A,如图,
∵∠FAH是△AEG的外角,
∴∠FAH＞∠E.
∵∠FHG是△AFH的外角,
∴∠FHG＞∠FAH.
∴∠FHG＞∠E. （2）
∵∠FAH是△AEG的外角,
∴∠FAH=∠E+∠G.
∵∠FHG是△AFH的外角,
∴∠FHG=∠FAH+∠F.
∴∠FHG=∠E+∠F+∠G. （3）180°

答案： （1）延长GH交EF于点A,如图,
∵∠FAH是△AEG的外角,
∴∠FAH＞∠E.
∵∠FHG是△AFH的外角,
∴∠FHG＞∠FAH.
∴∠FHG＞∠E. （2）
∵∠FAH是△AEG的外角,
∴∠FAH=∠E+∠G.
∵∠FHG是△AFH的外角,
∴∠FHG=∠FAH+∠F.
∴∠FHG=∠E+∠F+∠G. （3）180°