《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

7. 如图,点$E在\triangle ABC的边AC$的延长线上,点$D在边AB$上,$DE交BC于点F$,$DF = EF$,$BD = CE$. 求证：$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案：
如图,过点 D 作 DG//AC,交 BC 于点 G.
∵DG//AC,
∴∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB.在△GDF 和△CEF 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠GDF=∠E,\\ DF=EF,\\ ∠DFG=∠EFC,\end{array}\right. $
∴△GDF≌△CEF(ASA).
∴GD=CE.
∵BD=CE,
∴BD=GD.
∴∠B=∠DGB=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC 是等腰三角形.

1. 如图,在$5×5$的正方形网格中,点$A$,$B$均在格点上. 要在格点上确定一点$C$,连接$AC和BC$,使$\triangle ABC$是等腰三角形,网格中满足条件的点$C$有(D)

A.$5$个
B.$6$个
C.$7$个
D.$8$个

答案： D

2. 如图,已知$S_{\triangle ABC} = 24\,m^2$,$AD平分\angle BAC$,且$AD\perp BD于点D$,则$S_{\triangle ADC} = $12$\,m^2$.

答案： 12

3. 如图,已知在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 45^{\circ}$,高$AD$,$CE交于点H$. 若$AB = 15$,$CE = 9$,则$CH = $3.

答案： 3

4. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$\angle BCD的平分线CE与BA的延长线相交于点E$,$BH\perp CE于点H$. 求证：$CH = EH$.

答案：
∵BE//CD,
∴∠E=∠ECD.
∵CE 平分∠BCD,
∴∠ECD=∠ECB.
∴∠ECB=∠E.
∴BE=BC.又
∵BH⊥CE,
∴CH=EH.