《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 如图,点$E在\triangle ABC$的外部,点$D在边BC$上,$DE交AC于点F$,$\angle1= \angle2= \angle3$,$AC = AE$.
求证：$AB = AD$.

答案：
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，∠4=180°−∠3−∠5=180°−∠1−∠5=∠B. 又
∵AC=AE，
∴△ABC≌△ADE(AAS).
∴AB=AD.

6. 如图,已知$BE\perp AD$,$CF\perp AD$,且$BE = CF$. 请你判断$AD是\triangle ABC$的中线还是角平分线,并说明你的理由.

答案： AD是△ABC的中线，理由如下：
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°. 又
∵BE=CF，∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴BD=CD.
∴AD是△ABC的中线.

1. 如图,$AB = AC$,点$D$,$E分别在AB$,$AC$上,补充一个条件后,仍不能判定$\triangle ABE\cong\triangle ACD$的是(C)

A.$\angle B= \angle C$
B.$AD = AE$
C.$BE = CD$
D.$\angle AEB= \angle ADC$

答案： C

2. 如图,把$\triangle ABC$放置在平面直角坐标系中,已知$AB = BC$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$A(3,0)$,$B(0,-1)$,点$C$在第四象限,求点$C$的坐标.

答案： 如图，过点C作CD⊥y轴于点D.
∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBC=90°.
∴∠OAB=∠DBC. 在△OAB和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AOB=∠BDC,\\ ∠OAB=∠DBC,\\ AB=BC,\end{array}\right. $
∴△OAB≌△DBC(AAS).
∴BD=AO，DC=OB.
∵A(3,0)，B(0,−1)，
∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4.
∴点C的坐标为(1,−4).