《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

4. 已知在等边三角形 $ABC$ 中,点 $E$ 在 $AB$ 上,点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上,且 $ED = EC$。
【特殊情况,探索结论】
(1)如图①,当 $E$ 为 $AB$ 的中点时,确定线段 $AE$ 与 $DB$ 的大小关系,请你直接写出结论：$AE$=$DB$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)；
【特例启发,解答题目】
(2)如图②,当 $E$ 为边 $AB$ 上任意一点时,确定线段 $AE$ 与 $DB$ 的大小关系,请你直接写出结论：$AE$=$DB$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。理由如下：过点 $E$ 作 $EF// BC$,交 $AC$ 于点 $F$,请你完成后面的解答过程；
【拓展结论,设计新题】
(3)在等边三角形 $ABC$ 中,点 $E$ 在线段 $AB$ 的延长线上,点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上,且 $ED = EC$,若$\triangle ABC$ 的边长为 $1$,$AE = 2$,请你画出相应的图形并求出 $CD$ 的长。

∵△ABC为等边三角形,EF//BC,
∴△AEF为等边三角形.
∴AE=AF=EF,BE=CF.
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD.
∵∠DEB=60°−∠D,∠ECF=60°−∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中,DE=EC,∠DEB=∠ECF,BE=FC,
∴△DBE≌△EFC(SAS).
∴DB=EF.
∴AE=DB.
∵点E在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上时，作EF//AC,则△EFB为等边三角形，如图，利用“AAS"可证△DBE≌△CFE,
∵AB=1,AE=2,
∴BE=1.
∵DB=FC=FB+BC=2,
∴CD=BC+DB=3.

答案：
(1)=
(2)=
∵△ABC为等边三角形,EF//BC,
∴△AEF为等边三角形.
∴AE=AF=EF,BE=CF.
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD.
∵∠DEB=60°−∠D,∠ECF=60°−∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中,DE=EC,∠DEB=∠ECF,BE=FC,
∴△DBE≌△EFC(SAS).
∴DB=EF.
∴AE=DB.
(3)
∵点E在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上时，作EF//AC,则△EFB为等边三角形，如图，利用“AAS"可证△DBE≌△CFE,
∵AB=1,AE=2,
∴BE=1.
∵DB=FC=FB+BC=2,
∴CD=BC+DB=3.