《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

4. 长方形的长为$a$cm,宽为$b$cm,其中$a ＞ b ＞ 1$,且$a$,$b$为正整数。如果将原长方形的长增加$3$cm,宽减少$1$cm,得到的新长方形面积记为$S_{1}$；如果将原长方形的长和宽各增加$1$cm,得到的新长方形面积记为$S_{2}$。
(1) 试比较$S_{1}与S_{2}$的大小,并说明理由；
(2) 如果$S_{1}= 2S_{2}-10$,求将原长方形的长减少$1$cm,宽增加$3$cm后得到的新长方形的面积。

答案：
(1)$S_{1}=(a+3)(b-1)=ab-a+3b-3$,$S_{2}=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$,$\therefore S_{1}-S_{2}=(ab-a+3b-3)-(ab+a+b+1)=-2(a-b)-4$,$\because a＞b＞1$,且$a$,$b$为正整数,$\therefore a-b＞0$.$\therefore -2(a-b)-4＜0$.$\therefore S_{1}＜S_{2}$.
(2) $\because S_{1}=2S_{2}-10$,$\therefore ab-a+3b-3=2(ab+a+b+1)-10$.$\therefore ab-a+3b-3=2ab+2a+2b+2-10$.$\therefore ab+3a-b-5=0$.$\therefore$新长方形的面积$=(a-1)(b+3)=ab+3a-b-3=5-3=2(cm^{2})$.

5. 阅读材料解决问题：
当$a - b ＞ 0$时,一定有$a ＞ b$；当$a - b = 0$时,一定有$a = b$；当$a - b ＜ 0$时,一定有$a ＜ b$。
(1) 用“$＞$”或“$＜$”填空：$\because(a + 1)-(a - 1)$＞0,$\therefore a + 1$＞$a - 1$；
(2) 已知$n$为自然数,$P= (n + 1)(n + 4)$,$Q= (n + 2)(n + 3)$,试比较$P与Q$的大小；
$\because P=(n+1)(n+4)$,$Q=(n+2)(n+3)$,$\therefore P-Q=(n+1)(n+4)-(n+2)(n+3)=n^{2}+5n+4-n^{2}-5n-6=-2＜0$.$\therefore P＜Q$.
(3) 已知$A = 87654321×87654324$,$B = 87654322×87654323$,试比较$A与B$的大小。
设$n=87654320$,$\therefore A=(n+1)(n+4)=n^{2}+5n+4$,$B=(n+2)(n+3)=n^{2}+5n+6$,$\because n^{2}+5n+4-(n^{2}+5n+6)=-2＜0$,$\therefore A＜B$.

答案：
(1)$＞$ $＞$
(2) $\because P=(n+1)(n+4)$,$Q=(n+2)(n+3)$,$\therefore P-Q=(n+1)(n+4)-(n+2)(n+3)=n^{2}+5n+4-n^{2}-5n-6=-2＜0$.$\therefore P＜Q$.
(3) 设$n=87654320$,$\therefore A=(n+1)(n+4)=n^{2}+5n+4$,$B=(n+2)(n+3)=n^{2}+5n+6$,$\because n^{2}+5n+4-(n^{2}+5n+6)=-2＜0$,$\therefore A＜B$.