《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

17. 已知$\triangle ABC$ 的三边长分别是 $a$,$b$,$c$.
(1)当 $b^{2}+2ab = c^{2}+2ac$ 时,试判断 $\triangle ABC$ 的形状；
(2)判断式子 $a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$ 的值的符号.

答案： （1）$\because b^{2}+2ab=c^{2}+2ac$，$\therefore b^{2}-c^{2}=2ac-2ab$.$\therefore (b+c)(b-c)=2a(c-b)$. $\therefore (b+c+2a)(b-c)=0$. $\because a,b,c$为$\triangle ABC$三边的长，$\therefore b+c+2a＞0$. $\therefore b-c=0$. $\therefore b=c$，$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形. （2）$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac=(a-c)^{2}-b^{2}=(a-c+b)(a-c-b)$. $\because a,b,c$为$\triangle ABC$三边的长，$\therefore a-c+b＞0$，$a-c-b＜0$，$\therefore a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac＜0$.

18. 甲、乙两名同学在分解因式 $x^{2}+mx + n$ 时,甲看错了 $m$,分解的结果为 $(x - 1)(x - 4)$,乙看错了 $n$,分解的结果为 $(x + 1)(x - 5)$,求 $m$,$n$ 的值,并写出分解因式的结果.

答案： $\because (x-1)(x-4)=x^{2}-5x+4$，$\therefore n=4$. $\because (x+1)(x-5)=x^{2}-4x-5$，$\therefore m=-4$. $\therefore x^{2}+mx+n=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$.