《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

3. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC三个顶点的坐标分别是点A(-3,0)$,$B(-1,2)$,$C(3,2)$,则到$\triangle ABC$三个顶点距离相等的点的坐标是(D)

A.$(0,-1)$
B.$(0,0)$
C.$(1,-1)$
D.$(1,-2)$

答案： D

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 8$,$BC = 5$,$AB的垂直平分线DE交AB于点D$,交边$AC于点E$,则$\triangle BCE$的周长为13.

答案： 13

5. 如图,校园有两条路$OA和OB$,在两条路的交叉口附近有两块宣传牌$C$,$D$,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置$P$到两块宣传牌的距离相等,并且到两条路的距离也相等,请你用尺规作出灯柱的位置点$P$(保留作图痕迹).

答案：
分别作线段CD的垂直平分线EF和∠AOB的平分线OG,EF 与OG相交于点P，则点P即为所求，.

6. 如图,在$\triangle OBC中(OB \neq OC)$,$BC的垂直平分线DP交\angle BOC的平分线于点D$,垂足为$P$,连接$BD$,$CD$.
(1)若$\angle BOC = 60^{\circ}$,求$\angle BDC$的度数；
(2)若$\angle BOC = \alpha$,则$\angle BDC = $______(直接写出结果).

（1）解：过点$D$作$DE\perp OB$于点$E$，$DF\perp OC$于点$F$。
因为$OD$平分$\angle BOC$，$DE\perp OB$，$DF\perp OC$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$。
又因为$DP$是$BC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$BD = CD$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\DE = DF\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
所以$\angle BDE=\angle CDF$。
因为$\angle BOC = 60^{\circ}$，$\angle DEO=\angle DFO = 90^{\circ}$，在四边形$OEDF$中，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle EDF=360^{\circ}-\angle DEO-\angle DFO-\angle BOC$。
把$\angle DEO = 90^{\circ}$，$\angle DFO = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 60^{\circ}$代入得$\angle EDF = 120^{\circ}$。
而$\angle EDF=\angle EDC+\angle CDF=\angle EDC+\angle BDE=\angle BDC$。
所以$\angle BDC = 120^{\circ}$。
（2）$180^{\circ}-\alpha$

答案： 1. （1）
解：过点$D$作$DE\perp OB$于点$E$，$DF\perp OC$于点$F$。
因为$OD$平分$\angle BOC$，$DE\perp OB$，$DF\perp OC$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$。
又因为$DP$是$BC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$BD = CD$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\DE = DF\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
所以$\angle BDE=\angle CDF$。
因为$\angle BOC = 60^{\circ}$，$\angle DEO=\angle DFO = 90^{\circ}$，在四边形$OEDF$中，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle EDF=360^{\circ}-\angle DEO-\angle DFO-\angle BOC$。
把$\angle DEO = 90^{\circ}$，$\angle DFO = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 60^{\circ}$代入得$\angle EDF = 120^{\circ}$。
而$\angle EDF=\angle EDC+\angle CDF=\angle EDC+\angle BDE=\angle BDC$。
所以$\angle BDC = 120^{\circ}$。
2. （2）
解：过点$D$作$DE\perp OB$于点$E$，$DF\perp OC$于点$F$。
因为$OD$平分$\angle BOC$，$DE\perp OB$，$DF\perp OC$，所以$DE = DF$，又$DP$是$BC$的垂直平分线，所以$BD = CD$。
可证$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF(HL)$，则$\angle BDE=\angle CDF$。
因为$\angle BOC=\alpha$，$\angle DEO = 90^{\circ}$，$\angle DFO = 90^{\circ}$，在四边形$OEDF$中，$\angle EDF=360^{\circ}-\angle DEO-\angle DFO-\angle BOC$。
把$\angle DEO = 90^{\circ}$，$\angle DFO = 90^{\circ}$代入得$\angle EDF = 180^{\circ}-\alpha$。
又因为$\angle EDF=\angle BDC$（$\angle EDF=\angle EDC+\angle CDF=\angle EDC+\angle BDE=\angle BDC$）。
所以$\angle BDC = 180^{\circ}-\alpha$。
故答案为：（1）$120^{\circ}$；（2）$180^{\circ}-\alpha$。