《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

13. 如图,$A$,$C$,$F$,$D$ 在同一直线上,$AF = DC$,$AB = DE$,$BC = EF$。求证：$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。

答案： 在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，又
∵AF=DC，即AC+CF=DF+CF，
∴AC=DF.
∴△ABC≌△DEF(SSS).

14. 如图,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 在同一条直线上,$EA// FB$,$EA = FB$,$AB = CD$。
(1)求证：$\angle E= \angle F$；
(2)若$\angle A = 40^{\circ}$,$\angle D = 80^{\circ}$,求$\angle E$ 的度数。

答案： （1）
∵EA//FB，
∴∠A=∠FBD.
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD.在△EAC和△FBD中，$\left\{\begin{array}{l} EA=FB,\\ ∠A=∠FBD,\\ AC=BD,\end{array}\right. $
∴△EAC≌△FBD(SAS).
∴∠E=∠F.
（2）
∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA=∠D=80°.
∵∠A=40°，
∴∠E=180° - 40° - 80°=60°.

15. 如图,$AD$ 是$\triangle ABC$ 的中线,$BE\perp AD$,垂足为 $E$。$CF\perp AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$,$G$ 是 $DA$ 延长线上一点,连接 $BG$。
(1)求证：$BE = CF$；
(2)若 $BG = CA$,求证：$GA = 2DE$。

答案： （1）
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠F=90°.在△BED和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BED=∠F,\\ ∠BDE=∠CDF,\\ BD=CD,\end{array}\right. $
∴△BED≌△CFD(AAS).
∴BE=CF.
（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，$\left\{\begin{array}{l} BG=CA,\\ BE=CF,\end{array}\right. $
∴Rt△BGE≌Rt△CAF(HL).
∴GE=AF.
∴AG=EF.
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF.
∴GA=2DE.