《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

7. 若 $a^{m}= a^{n}(a\gt0且a\neq1$,$m$,$n$ 是正整数$)$,则 $m = n$,利用上面结论解决问题：已知 $16^{m}= 4× 2^{2n - 2}$,$27^{n}= 9× 3^{m + 3}$,求$(n - m)^{2024}$的值。

答案： $\because 16^{m}=2^{4m}=4× 2^{2n-2}=2^{2n}$,$27^{n}=3^{3n}=9× 3^{m+3}=3^{m+5}$,$\therefore \left\{\begin{array}{l} 4m=2n,\\ 3n=m+5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=1,\\ n=2.\end{array}\right. \therefore (n-m)^{2024}=(2-1)^{2024}=1$.

8. 阅读下列解题过程。
比较 $2^{100}$ 与 $3^{75}$ 的大小。
解：$\because 2^{100}= (2^{4})^{25}$,$3^{75}= (3^{3})^{25}$,又$\because 2^{4}= 16$,$3^{3}= 27$,且 $16\lt27$,$\therefore 2^{100}\lt3^{75}$。
根据上述解答,请比较 $3^{100}$ 与 $5^{60}$ 的大小。

答案： $\because 3^{100}=(3^{5})^{20}=243^{20}$,$5^{60}=(5^{3})^{20}=125^{20}$,又$\because 243＞125$,$\therefore 3^{100}＞5^{60}$.

9. 某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据 $a^{m}= b$,知道 $a$,$m$ 可以求 $b$ 的值。如果知道 $a$,$b$ 的值,那么可以求 $m$ 的值吗？他们为此进行了研究,规定：若 $a^{m}= b$,则 $T(a,b)= m$。例如：若 $3^{4}= 81$,则 $T(3,81)= 4$。
(1) 填空：$T(2,64)=$6；
(2) 计算：$T(-5,-125)+T(-2,16)$；
(3) 探索 $T(2,3)+T(2,7)$ 与 $T(2,21)$ 的大小关系,并说明理由。
(2)$\because (-5)^{3}=-125$,$(-2)^{4}=16$,$\therefore T(-5,-125)+T(-2,16)=3+4=7$.
(3)$T(2,3)+T(2,7)=T(2,21)$.理由如下:设$T(2,3)=m$,可得$2^{m}=3$,设$T(2,7)=n$,可得$2^{n}=7$,$2^{m}\cdot 2^{n}=2^{m+n}=3× 7=21$,即$T(2,3)+T(2,7)=T(2,21)$.

答案： （1）6 （2）$\because (-5)^{3}=-125$,$(-2)^{4}=16$,$\therefore T(-5,-125)+T(-2,16)=3+4=7$. （3）$T(2,3)+T(2,7)=T(2,21)$.理由如下:设$T(2,3)=m$,可得$2^{m}=3$,设$T(2,7)=n$,可得$2^{n}=7$,$2^{m}\cdot 2^{n}=2^{m+n}=3× 7=21$,即$T(2,3)+T(2,7)=T(2,21)$.